五年级奥数容斥原理之最值问题教师版.docx

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7-7-5.容斥原理之最值问题

教学目标

五年级奥数容斥原理之最值问题

1.

教师版

知识要点2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．

知识要点

一、两量重叠问题

在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成：AB?A?B?AB(其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思．)则称这一公

式为包含与排除原理,简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为：AB,即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为：AB,即阴影面积．

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1．先包含——A?B

重叠部分A B计算了2次,多加了1次；2．再排除——A?B?A B

把多加了1次的重叠部分A B减去．

包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A、B的并集A B的元素的个数,可分以下两步

进行：

第一步：分别计算集合A、B的元素个数,然后加起来,即先求A?B(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来,加在一起)；

第二步：从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C?A B(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．

二、三量重叠问题

A类、B类与C类元素个数的总和?A类元素的个数?B类元素个数?C类元素个数?既是A类又是B类的元素个数?既是B类又是C类的元素个数?既是A类又是C类的元素个数?同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：ABC?A?B?C?AB?BC?AC?ABC．图示如下：

图中小圆表示A的元素的个数,中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数．1．先包含：

图中小圆表示A的元素的个数,中圆表示B的元素的个数，大

圆表示C的元素的个数．

1．先包含：A?B?C

重叠部分A B、B C、C A重叠了2次,多加了1次．

2．再排除：A?B?C?A B?B

C?A

C

重叠部分A B C重叠了3次，但是在进行A?B?C?

A B?B C?A C计算时都被减掉了．3．再包含：A?B?C?A B?B C?A C?A B C．

例题精讲

【例1】“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。每个年级12道题,并且至少有8道题与其他各年级都不同。如果每道题出现在不同年级,最多只能出现3次。本届活动至少要准备道决赛试题。

【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空

【关键词】走美杯,4年级,决赛,第9题

【解析】每个年级都有自己8道题目,然后可以三至五年级共用4道题目,六到八年级共用4

道题目,总共有8?6?4?2?56（道）题目。

【答案】56题

【例2】将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中,然后把每个圆内的7个数相加,最后把四个圆的和相加,问：和最大是多少？

【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空

【解析】越是中间,被重复计算的越多,最中心的区域被重复计算四次,将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中,最大和为：13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.

【答案】240

【例3】如图,5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色,那么在这个五角星上红色点最少有多少个?

【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空

【解析】如下图,下图中“”位置均有两条线段通过,也就是交点,如果这些交点所对应的线段都在“”位置恰有红色点,那么在五角星上重叠的红色点最多,所以此时显现的红色点最少,有1994×5-(2-1)×10=9960个．

【答案】9960

【例4】 某班共有学生48人,其中27人会游泳,33人会骑自行车,40人会打乒乓球．那么,这个班至少有多少学生这三项运动都会？

【考点】容斥原理之最值问题【