现代控制理论知识点复习资料.docx

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第一章控制系统的状态空间表达式

１． 状态空间表达式

x??Ax?Bu

n阶 y?Cx?Du

u:r?1 y:m?1 A:n?n B:n?r C:m?nD:m?r

A称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，

D直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。２． 状态空间描述的特点

①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。

②状态方程和输出方程都是运动方程。

③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n阶系统有n个状态变量可以选择。

④状态变量的选择不唯一。

⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。

⑥建立状态空间描述的步骤：

a选择状态变量；

b列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；

c将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。

⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）

已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。

４．状态空间表达式的建立

①由系统框图建立状态空间表达式：

a将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b每个积

分器的输出选作x

i

，输入则为x?

i

；c由模拟图写出状态方程和输出方程。

②由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。

利用KVL和KCL列微分方程，整理。

③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。

方法：微分方程?系统函数?模拟结构图?状态空间表达式。

注意：a如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。

b模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。

c对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。

状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。

特征矢量pi的求解：也就是求(?iI?A)x?0的非零解。

状态空间表达式变换为约旦标准型（Ａ为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。a互异根时，

各特征矢量按列排。b有重根时，设3阶系统， ＝ ， 为单根，对特征矢量p，p求法与前

1 2 3 1 3

面相同， p称作

2

的广义特征矢量，应满足(

1

I A)p p。

1 2 1

系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数 部分分式展开 模拟结构图 状态空间表达式。

由状态空间表达式求传递函数阵W(s)

W(s) C(sI A)1 B D m r的矩阵函数［W

］W 表示第j个输入对第i个输出的传递关系。

ij ij

状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵W(s)是不变的。

子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵W(s)。方法：画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。

第二章控制系统状态空间表达式的解

一．线性定常系统齐次状态方程（x

二．矩阵指数函数——状态转移矩阵

Ax）的解：x(t) eAtx

0

(t) eAt表示x(0)到x(t)的转移。5个基本性质。

eAt的计算：

a定义；b变换为约旦标准型 (或J) T1AT,eAt TetT1或TeJtT1

c用拉氏反变换eAt L1[(sI A)1] 记忆常用的拉氏变换对

1 1 1 n! 1 s

(t) 1;1(t) ;t

;eat

;tn

;teat

;sint ;cost

s s2 s a sn1 (s a)2 s2 2 s2 2

d应用凯莱-哈密顿定理

三．线性定常系统非齐次方程（x

Ax Bu）的解：x(t) (t)x(0)

t(t )Bu()d。可由

0

拉氏变换法证明（当然给出拉氏变换法的求解思路）。求解步骤：先求(t) eAt，然后将B和u(t)代入公式即可。特殊激励下的解。

第三章 线性控制系统的能控性和能观性

一．能控性及能观性定义（线性连续定常）

二．