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概率论与数理统计随机变量及其分布

汇报人：AA

2024-01-19

随机变量及其分布概述

常见离散型随机变量分布

常见连续型随机变量分布

随机变量函数的分布

多维随机变量及其分布

随机变量的数字特征与极限定理

目录

01

随机变量及其分布概述

随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。

随机变量定义

随机变量具有可测性、单调性和有界性等基本性质。其中，可测性是指随机变量的取值可以被概率测度所描述；单调性是指随机变量的取值在一定条件下具有单调递增或递减的性质；有界性是指随机变量的取值范围在一定条件下是有限的。

随机变量性质

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连续型随机变量是指其取值可以充满某个区间或多个区间的随机变量。

连续型随机变量定义

02

连续型随机变量的概率密度函数是一个描述随机变量取值概率分布情况的函数，通常简称为密度函数。

概率密度函数定义

03

常见连续型随机变量分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。

常见连续型随机变量分布

分布函数是一个描述随机变量取值落在某个区间内的概率的函数，通常记为F(x)。对于离散型随机变量，其分布函数为阶梯状；对于连续型随机变量，其分布函数为连续曲线。

分布函数定义

分布函数与随机变量之间存在密切的关系。一方面，分布函数可以完全确定一个随机变量的概率分布情况；另一方面，通过随机变量的取值可以求得相应的分布函数的值。因此，在概率论与数理统计中，常常通过研究分布函数来了解和分析随机变量的性质和行为。

分布函数与随机变量的关系

02

常见离散型随机变量分布

概率质量函数

P{X=k}=C_n^kp^k(1-p)^(n-k)，k=0,1,2,...,n。

期望和方差

E(X)=np，D(X)=np(1-p)。

定义

在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验成功的概率为p，则成功次数X服从参数为n,p的二项分布。

定义

泊松分布是一种描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。泊松分布的参数是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生率λ。

概率质量函数

P{X=k}=(λ^k/k!)e^(-λ)，k=0,1,2,...。

期望和方差

E(X)=λ，D(X)=λ。

定义

在伯努利试验中，记每次试验中事件A发生的概率为p，试验进行到事件A首次出现为止，此时所进行的试验次数X服从参数为p的几何分布。

概率质量函数

P{X=k}=(1-p)^(k-1)p，k=1,2,...。

期望和方差

E(X)=1/p，D(X)=(1-p)/p^2。

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品的概率分布称为超几何分布。超几何分布的参数是N,M,n。

概率质量函数

P{X=k}=C_M^kC_(N-M)^(n-k)/C_N^n，k=0,1,...,min{n,M}。

期望和方差

E(X)=nM/N，D(X)=(nM/N)((N-M)/N)((N-n)/(N-1))。

定义

03

常见连续型随机变量分布

定义

在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。

性质

均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U（a，b）。

应用

均匀分布在自然情况下极为罕见，同样来由的是指数分布，像身高、体重、成绩分数、考试分数在总体上都服从或近似服从均匀分布。

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定义

指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。

性质

指数函数的一个重要特征是无记忆性（MemorylessProperty，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，当s,t0时有P(Tt+s|Tt)=P(Ts)。

应用

在排队论中，一个顾客接受服务的时间长短用指数分布来近似。电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性元素发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以单位时间内按泊松分布的数目到达。

定义

正态分布（Normaldistribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussiandistribution），最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

要点一

要点二

应用

正态分布在医学的参考值范围确定、医学数据处理、医学实验设计、医学研究和医学论文撰写中，均有着广泛的应用。

性质

对于X是对数正态分布的随机变量，均值M(X)和方差D(X)通过公式计算得到。

定义

如果Y是正态分布的随机变量，则exp(Y)为对数正态分布；同样