五年级奥数约数与倍数教师版.docx

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5-4-2.约数与倍数（二）教学目标

5-4-2.约数与倍数（二）

教学目标

1.

版

本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识,

例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系；

（2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为

△☆?△☆?...?△☆的结构,而且表达形式唯一”

知识点拨一、 约数、公约数与最大公约数概念

知识点拨

约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a能被整数b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数；

公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数,称这个整数为它们的“公约数”；(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；

(4)0被排除在约数与倍数之外

求最大公约数的方法

218 12①分解质因数法：先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来．例如：231?3?7?11,252?22?32?7,所以(231,252)?3?7?21；

218 12

②短除法：先找出所有共有的约数,然后相乘．例如：39 6,所以(12,18)?2?3?6；

3 2

③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是0为止．那么,最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的)．

例如,求600和1515的最大公约数： 1515?600?2 315；600?315?1 285；

315?285?1 30；285?30?9 15；30?15?2 0；所以1515和600的最大公约数是15．

最大公约数的性质

①几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数；

②几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数；

③几个数都乘以一个自然数n,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以

n．

求一组分数的最大公约数

先把带分数化成假分数,其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；b即为所求．

a

约数、公约数最大公约数的关系

约数是对一个数说的；

公约数是最大公约数的约数,最大公约数是公约数的倍数

二、倍数的概念与最小公倍数

倍数:一个整数能够被另一整数整除,这个整数就是另一整数的倍数

公倍数:在两个或两个以上的自然数中,如果它们有相同的倍数,那么这些倍数就叫做它们的公倍数

最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。

求最小公倍数的方法

①分解质因数的方法；

例如：231?3?7?11,252?22?32?7,所以?231,252??22?32?7?11?2772；

218 12②

218 12

例如：39 6 ,所以?18,12??2?3?3?2?36；

3 2

③[a,b]?

a?b．

(a,b)

最小公倍数的性质

①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．

②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．

③两个数具有倍数关系,则它们的最大公约数是其中较小的数,最小公倍数是较大的数．

求一组分数的最小公倍数方法步骤

先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最

[ ,大公约数b；b即为所求．例如：3

[ ,

5]?

[3,5]

?15

a 412 (4,12) 4

注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数,最小公倍数可以是整数.例如：

?1 4? ?1,4?

??2,

3????2,3

??4

倍数、公倍数、最小公倍数的关系

倍数是对一个数说的；

最小公倍数是公倍数的约数,公倍数是最小公倍数的倍数

三、最大公约数与最小公倍数的常用性质

两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。

如果m为A、B的最大公约数,且A?ma,B?mb,那么a、b互质,所以A、B的最小公倍数为mab,所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：

①A?B?ma?mb?m?mab,即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；

②最大公约数是A、B、A?B、A