习题课1—数列极限2009.docx

《数学分析I

《数学分析I》第1次习题课教案

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一、内容提要

第一次习题课（数列极限）

数列极限定义，验证lim

2n2?1 ?2.

n??3n2?2n?1 3

极限性质（唯一性、有界性、保号性、保不等式）.

极限四则运算.求lim(

n??

n?1n

)n，lim(

n??

n2?1

)n

)

n2

收敛准则（迫敛准则、单调有界准则、柯西收敛准则）.二、客观题

设

??1,x?1

f(x)??

??0,x?1

，则f?f(x)????.

n若数列{x

n

}与{yn

}发散，问数列{x

n

?y}，{x

n n

y}，{xn}是否一定发散？

n y

若数列x

n

收敛，列y

n

发散，则数列x

n

n

y是否存在？

n

4、若单调数列{a

n

}含有一个收敛的子数列，则数列{a

n

}必收敛（ ）.

5、若数列{a

n

}发散，则{a

n

}必为无界数列（ ）.

k

3e6.当（ ）时，有lim(1

3e

n??

)n? .

n

三、计算题

一些重要结论：

n?1

n?1

nannlim( )n?e，lim(

na

nn

)n?e?1，limqn?0,(|q|?1)，lim

?1,(a?0)，

lim

?1，

n??

lim

n??

n

nn2?

nn2

n?? n

n??

n??

n??

计算下列极限

limsinn

?0（M??）.

n?? n

lim(1?

2? ?

n)?

1

（求和法）.

n??n2 n2

n2 2

lim( 1

n??n2?1

1

? 2

?nn2?n

?

n

n2?n

?

)（夹逼）.1

lim(1?

n??

)3n，（4?）lim(1?

n2 n??

)n.

f(n)?

f(n)?.

（5）.设f(x)?ax?a?0,a?1?，求lim1

n??n2

ln?f(1)f(2)

设x

ann!

? lim

? lim

x

n?1.

n

四、证明题

nn n?? x

n

已知lima

?a，证明极限lim

[na]

n

?a.

n?? n

n??n?1

2..应用柯西收敛准则，证明a

n

?cos1?cos2?2 22

cosn,（n?1,2,?，）是收敛数列.

2n

设x

1

?a?0，x

n?1

?1(x ?

2 n

2)，证明：数列{x

x n

}收敛并求其极限（单调有界原理）.

n?

按数列极限的??N定义证明lim

n??

n2?2?

n

n2?1

a ?b

?

?0.

给定两个正数a与b(a

1 1 1

?b)，我们令a

1

?

n?1

n n，b ?

2 n?1

，n?1,2,?,试证明数列{a}

abnn

ab

nn

与{b

}的极限皆存在，并且lima

?limb.

nann n?? n n??

na

n

设a

n

?0,lima

n?? n

?a?0，证明lim

n??

?1.