概率论与数理统计2-3.pptxVIP

概率论与数理统计2-3汇报人：AA2024-01-19

目录CONTENTS概率论基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量数字特征大数定律和中心极限定理数理统计基本概念参数估计方法假设检验方法

01概率论基本概念

样本空间所有可能结果的集合，常用大写字母S表示。事件样本空间的子集，即某些可能结果的集合，常用大写字母A、B等表示。基本事件只包含一个样本点的事件，是构成样本空间的最小单元。样本空间与事件030201

概率定义及性质概率定义事件A发生的可能性大小的度量，记为P(A)，满足非负性、规范性（P(S)=1）和可列可加性。概率性质包括互斥事件的概率加法公式、任意事件的概率减法公式、概率的乘法公式等。

在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A|B)，满足P(A|B)=P(AB)/P(B)。如果事件A和事件B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A和事件B是相互独立的。条件概率与独立性事件的独立性条件概率

如果事件B1,B2,...,Bn是样本空间S的一个划分，且P(Bi)0(i=1,2,...,n)，则对任意事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。全概率公式在全概率公式的条件下，可以进一步得到P(Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)/∑P(Bj)P(A|Bj)，用于在已知某些信息的情况下，更新某事件发生的概率。贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式

02随机变量及其分布

VS随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。随机变量分类根据随机变量取值的特点，可以将其分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。随机变量定义随机变量定义及分类

分布律定义离散型随机变量的分布律描述了随机变量取各个值的概率，通常用概率质量函数（PMF）表示。常见离散型随机变量分布二项分布、泊松分布、几何分布等。离散型随机变量分布律

连续型随机变量概率密度函数连续型随机变量的概率密度函数（PDF）描述了随机变量在某个区间内取值的概率分布情况。概率密度函数定义正态分布、均匀分布、指数分布等。常见连续型随机变量分布

随机变量函数是由随机变量构成的函数，其取值也是随机的。当已知随机变量的分布时，可以通过一定的方法求出随机变量函数的分布。例如，通过卷积公式可以求出两个独立随机变量之和的分布。随机变量函数定义随机变量函数的分布随机变量函数分布

03多维随机变量及其分布

联合密度函数定义对于连续型二维随机变量(X,Y)，其联合密度函数f(x,y)描述了(X,Y)在点(x,y)处的概率密度。性质联合分布律/密度函数必须非负，且其所有可能取值的概率之和/积分为1。联合分布律定义对于二维随机变量(X,Y)，其联合分布律描述了X和Y同时取值的概率，即P{X=xi,Y=yj}。二维随机变量联合分布律/密度函数

边缘分布律/密度函数边缘分布律定义二维随机变量(X,Y)中，X或Y单独取值的概率分布律称为边缘分布律，即P{X=xi}或P{Y=yj}。边缘密度函数定义对于连续型二维随机变量(X,Y)，X或Y单独取值的概率密度函数称为边缘密度函数，即fX(x)或fY(y)。性质边缘分布律/密度函数可以通过对联合分布律/密度函数进行求和/积分得到。

在二维随机变量(X,Y)中，当已知X=xi时，Y的条件分布律描述了Y在X=xi条件下的取值概率，即P{Y=yj|X=xi}。条件分布律定义对于连续型二维随机变量(X,Y)，当已知X=x时，Y的条件密度函数描述了Y在X=x条件下的概率密度，即fY|X(y|x)。条件密度函数定义条件分布律/密度函数可以通过联合分布律/密度函数和边缘分布律/密度函数计算得到。性质条件分布律/密度函数

定义如果二维随机变量(X,Y)的联合分布律/密度函数可以表示为两个边缘分布律/密度函数的乘积，即P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}或f(x,y)=fX(x)fY(y)，则称X和Y是相互独立的。性质相互独立的随机变量之间没有相互影响，一个随机变量的取值不会影响另一个随机变量的取值。相互独立随机变量

04随机变量数字特征

数学期望定义数学期望是随机变量取值的平均值，用于描述随机变量取值的“中心位置”或“平均水平”。要点一要点二数学期望性质数学期望具有线性性质，即对于任意常数a和b，以及随机变量X和Y，有E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)。此外，数学期望还具有正态分布的性质，即若X服从N(μ,σ^2)分布，则E(X)=μ。数学期望定义及性质

方差定义方差是随机变量取值与其数学期望之差的平方的平均值，用于描述随机变量取值的离散程度。标准差定义标准差是方差的算术平方根，用于描述随机变量取值的波动范围。协方差定义协方差是衡量两个随机变量变化趋势的统计量，如果两个随机变量同时向相反