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2024-01-19
概率论与数理统计常用的统计分布
目录
离散型统计分布
连续型统计分布
多维统计分布
统计分布的性质与应用
参数估计与假设检验
方差分析与回归分析中的统计分布
01
离散型统计分布
Part
分布描述
二项分布是一种离散型概率分布，描述了在n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。其中，每次试验只有两种可能结果，成功或失败，且成功的概率在每次试验中均相同。
分布参数
二项分布的参数包括试验次数n和成功概率p。
期望和方差
二项分布的期望值为np，方差为np(1-p)。
分布描述
01
泊松分布是一种离散型概率分布，用于描述在给定时间间隔或空间内发生随机事件次数的概率分布。泊松分布假设事件是独立且等概率发生的。
分布参数
02
泊松分布的参数是λ，表示单位时间或空间内事件的平均发生率。
期望和方差
03
泊松分布的期望值和方差均为λ。
超几何分布是一种离散型概率分布，描述了在不放回的抽样中，抽取到指定数量成功样本的概率分布。其中，成功样本和失败样本的总数量是固定的。
分布参数
超几何分布的参数包括总样本数量N、成功样本数量K和抽取样本数量n。
期望和方差
超几何分布的期望值较为复杂，一般通过公式计算；方差同样可以通过公式计算得到。
分布描述
负二项分布是一种离散型概率分布，描述了在伯努利试验中，为了达到指定数量的成功次数，需要进行多少次试验的概率分布。
分布描述
负二项分布的参数包括成功次数r和成功概率p。
分布参数
负二项分布的期望值为r/p，方差为r(1-p)/p^2。
期望和方差
02
连续型统计分布
Part
定义
正态分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，具有对称性。
应用
在自然科学、社会科学、工程学等领域都有广泛应用，如测量误差、质量控制、金融数据分析等。
参数
正态分布有两个参数，分别是均值μ和标准差σ，决定了分布的位置和形状。
性质
正态分布具有可加性、稳定性等良好性质，是许多统计方法的基础。
均匀分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数在某一区间内为常数，其他区间为0。
定义
常用于描述随机变量在某个区间内等可能取值的情况，如随机数生成、蒙特卡罗模拟等。
应用
均匀分布有两个参数，分别是区间的起点a和终点b。
参数
均匀分布具有等可能性，即每个子区间上的概率相等。
性质
4
2
3
定义
指数分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数呈指数形式递减。
参数
指数分布有一个参数λ，决定了分布的衰减速度。
性质
指数分布具有无记忆性，即无论过去发生了多少事件，下一个事件发生的概率仍然相同。
应用
常用于描述随机事件发生的时间间隔，如等待时间、寿命分布等。
应用
常用于小样本情况下的假设检验和置信区间估计，如t检验、回归分析等。
定义
t分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，但与正态分布相比具有更厚的尾部。
参数
t分布有一个参数ν（自由度），决定了分布的形状。
性质
随着自由度的增加，t分布逐渐趋近于正态分布；在小样本情况下，t分布比正态分布具有更厚的尾部，能够更好地处理异常值。
03
多维统计分布
Part
定义
多项分布具有可加性，即若两个随机变量服从参数不同的多项分布，则它们的和也服从多项分布。
性质
应用
在生物统计学、医学、社会科学等领域中，多项分布常被用来描述分类数据的分布情况。
多项分布是二项分布的推广，描述的是n次独立重复试验中，每次试验可能出现的结果有k种，且每种结果出现的概率分别为p1,p2,...,pk的随机现象。
1
2
3
多维正态分布是指多个随机变量组成的向量，其分布函数服从正态分布，且这些随机变量的任意线性组合也服从正态分布。
定义
多维正态分布具有对称性、可加性和线性变换不变性。此外，多维正态分布的边缘分布和条件分布也都是正态分布。
性质
在金融、经济、工程等领域中，多维正态分布常被用来描述多个相关随机变量的联合分布情况。
应用
性质
Dirichlet分布具有共轭先验性，即如果先验分布和后验分布都是Dirichlet分布，则它们具有相同的分布形式。此外，Dirichlet分布的期望和方差也有明确的表达式。
定义
Dirichlet分布是一种在多元统计分析中常用的连续型概率分布，它是Beta分布在多元情况下的推广。Dirichlet分布描述的是一个K维随机向量X=(X1,X2,...,XK)的概率分布情况，其中Xi表示第i个事件发生的概率，且满足Xi0和ΣXi=1。
应用
在自然语言处理、生物信息学、机器学习等领域中，Dirichlet分布常被用作多项分布的先验分布，以实现参数的贝叶斯估计。
定义
Wishart分布是一种在多元统计分析中常用的连续型概率分布，它描述的是一个p×p维随机矩阵S的分布情况。Wi
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