五年级奥数格点型面积教师版.docx

PAGE

PAGE10/11

毕克定理若一个格点多边形内部有

毕克定理

若一个格点多边形内部有N个格点,它的边界上有L个格点，

L

则它的面积为S?N? ?1．

2

4-2-7.格点型面积

例题精讲

五年级奥数格点型面积教师版

在一张纸上,先画出一些水平直线和一些竖直直线,并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位),这样在纸上就形成了一个方格网,其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中,以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形,例如,右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．

那么,格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有,这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！

用N表示多边形内部格点,L表示多边形周界上的格点,S表示多边形面积,请同学们分析前几个例题的格点数．

L

我们能发现如下规律：S?N? ?1．这个规律就是毕克定理．

2

【例1】判断下列图形哪些是格点多边形？

⑴ ⑵ ⑶

⑷

【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】判断

【解析】根据格点多边形的定义可知,图形的边必须是直线段,顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．

【答案】⑴是格点多边形

【例1】 如图,计算各个格点多边形的面积．

⑴ ⑵ ⑶

⑷ ⑸ ⑹

【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答

【解析】本题所给的图形都是规则图形,它们的面积运用公式直接可求,只要判断出相应的有关数据就行了．

方法一：图⑴是正方形,边长是4,所以面积是4?4?16(面积单位)；图⑵是矩形,长是5,宽是3,所以面积是5?3?15(面积单位)；

图⑶是三角形,底是5,高是4,所以面积是5?4?2?10(面积单位)；图⑷是平行四边形,底是5,高是3,所以面积是5?3?15(面积单位)；

图⑸是直角梯形,上底是 3,下底是 5,高是 3,所以面积是

（3?5）?3?2?12(面积单位)；

图⑹是梯形,上底是3,下底是6,高是4,所以面积是（3?6）?4?2?18(面积单位)．

如果两格点之间的距离是2,能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)

方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外,我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发,即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要,在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶,我们利用“扩展法”将其转化,如图所示,从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．

如图⑷,我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边,转化成一个长方形,从中易得平行四边形面积．同理,图⑸、⑹也可利用同样的思想．

【答案】图⑴16；图⑵15；图⑶10⑶；图⑷15；图⑸⑷12；图⑹18．

IIIIII【例2】 如图(a),计算这个格点多边形的面积．

I

II

III

(a) (b) (c)

【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答

【解析】方法一(扩展法)．这是个三角形,虽然有三角形面积公式可用,但判断它的底和高却十分困难,只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内,除此之外还有其他三个直角三角形,如下右图(b),这三个直角三角形面积很容易求出,再用矩形面积减去这三个直角三角形面积,就是所要求的三角形面积．矩形面积是6?4?24；直角三角形Ⅰ的面积是：6?2?2?6；直角三角形Ⅱ的面积是：4?2?2?4；直角三角形Ⅲ面积是4?2?2?4；所求三角形的面积是

24?（6?4?4）?10(面积单位)．

方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形,如(c)图．因此

三角形的面积是：5?2?2?5?2?2?10(面积单位)．

【答案】10

【例3】 右图是一个方格网,计算阴影部分的面积．

DA

D

A

F

C

E B

1cm

【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答

【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛

【解析】扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF；另外三个分别是：△ABE、△FEC、△DAF,它们都有一条边是水平放置的,易求它们的面积分别为1.5cm2,2cm2,1.5cm2．所以,图中阴

影部分的面积为：3?3?（1.5?2?2）?4(cm2)．

【答案】4

【例4】 分别计