五年级奥数任意四边形、梯形与相似模型教师版.docx

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五年级奥数任意四边形、梯形与相似模型（一）教师版

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

DA s12

D

A s1

2O

s

s

s

4

①S:S

1 2

?S:S

4 3

或者S?S

1 3

?S?S

2 4

②AO:OC??S

1

?S?:?S

2 4

S?

3

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

D6 CE776【例1】图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是

D

6 C

E

7

7

6

A

B

【考点】任意四边形模型 【难度】2星

【解析】在 ABE, CDE中有?AEB?

【题型】解答

?CED,所以

ABE,

CDE

的面积比为

(AE?EB):(CE?DE)．同理有 ADE, BCE的面积比为(AE?DE):(BE?EC)．所

以有S ×S =S ×S ,也就是说在所有凸四边形中,连接顶点得到2条对

ABE CDE ADE BCE

角线,有图形分成上、下、左、右4个部分,有：上、下部分的面积之积等于左右部

分的面积之积． 即S

ABE

?6=S

ADE

?7,所以有 ABE与 ADE的面积比为

7:6,S

=

ABE

7

6?7

?39?21公顷,S

=

ADE

6

6?7

?39?18公顷．

任意四边形、梯形与相似模型例题精讲显然,最大的三角形的面积为21公顷．

任意四边形、梯形与相似模型

例题精讲

【答案】21

【例2】如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、BD分成四个部分,△AOB面积为1平方千米,△BOC面积为2平方千米,△COD的面积为3平方千米,公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米？

C

B

O

A D

【考点】任意四边形模型 【难度】2星 【题型】解答

【关键词】小数报

【解析】根据蝴蝶定理求得 S

△AOD

?3?1?2?1.5平方千米,公园四边形ABCD的面积是

1?2?3?1.5?7.5平方千米,所以人工湖的面积是7.5?6.92?0.58平方千米

【答案】0.58

【例3】 一个矩形分成4个不同的三角形（如右图）,绿色三角形面积占矩形面积的15％,

黄绿15%黄色三角形的面积是

黄

绿15%

【考点】任意四边形模型 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】华杯赛,初赛,第7题

【解析】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50％,而绿色三角形面积占矩形面积的15％,所以黄色三角形面积占矩形面积的50％－15％＝35％已知黄色三角形面积是21平方厘米,所以矩形面积等于21÷35％＝60(平方厘米)

【答案】60

【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知,求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG:GC?？

AD

A

D

2

1

G 3

C

【考点】任意四边形模型 【难度】2星 【题型】解答

【解析】⑴根据蝴蝶定理,S

?1?2?3,那么S

?6；

BGC

? ??

B?GC

⑵根据蝴蝶定理,AG:GC?

【答案】1:3

1?2

:3?6

?1:3．

【例4】 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积

等于三角形BCD的面积的1,且AO?2,DO?3,那么CO的长度是DO的长度的

3

倍．

AD

A

D

O

A

D

G

HO

B B

C C

【考点】任意四边形模型 【难度】3星 【题型】填空

【解析】在本题中,四边形ABCD为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良

四边形．看到题目中给出条件S

:S

ABD

BCD

?1:3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于

是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系,转化为边的关系,可

以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH垂直BD于H,CG垂直