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《概率论与数理统计》-61

汇报人：AA

2024-01-19

contents

目录

引言

概率论基本概念

一维随机变量及其分布

多维随机变量及其分布

数理统计基本概念和方法

参数估计方法论述

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引言

概率论与数理统计是数学的一个重要分支，它研究随机现象背后的规律，为其他学科提供有效的数学工具。

通过本课程的学习，学生将掌握概率论与数理统计的基本思想和方法，具备分析和解决随机现象的能力。

本课程主要介绍概率论与数理统计的基本概念、理论和方法，包括概率空间、随机变量、随机过程、参数估计、假设检验等内容。

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第三章

多维随机变量及其分布，包括二维随机变量、边缘分布、条件分布、独立性等。

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第一章

概率论的基本概念，包括样本空间、事件、概率等。

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第二章

随机变量及其分布，包括离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量的数字特征等。

第四章

随机变量的数字特征，包括数学期望、方差、协方差、相关系数等。

第五章

大数定律与中心极限定理，包括切比雪夫不等式、大数定律、中心极限定理等。

第六章

数理统计的基本概念，包括总体与样本、统计量、抽样分布等。

参数估计，包括点估计、区间估计、最大似然估计等。

假设检验，包括假设检验的基本思想、步骤、两类错误等。

第八章

第七章

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概率论基本概念

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在一定条件下并不总是发生的现象称为随机事件。

随机事件

表示随机事件发生的可能性大小的数值称为概率。

概率

非负性、规范性、可加性。

概率的性质

古典概型

如果每个样本点发生的可能性相等，则称这种概率模型为古典概型。

几何概型

如果样本点的发生与某个区域的面积、体积等几何量有关，则称这种概率模型为几何概型。

古典概型与几何概型的区别

主要在于样本点发生的可能性是否相等。

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一维随机变量及其分布

随机变量定义

随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。

随机变量性质

随机变量具有可测性、单调性和有界性等性质。其中，可测性是指随机变量的取值可以被概率测度所描述；单调性是指随机变量的取值随着样本点的变化而单调变化；有界性是指随机变量的取值范围在一个有限的区间内。

0-1分布是一种最简单的离散型随机变量分布，它描述的是只有两种可能结果的随机试验，通常用来描述伯努利试验。

0-1分布

二项分布描述的是n重伯努利试验中成功次数X的分布，其中每次试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p。

二项分布

泊松分布是一种描述稀有事件的离散型随机变量分布，它描述的是在单位时间内或单位面积内随机事件发生的次数。

泊松分布

均匀分布

均匀分布描述的是在某个区间内等可能取值的连续型随机变量，其概率密度函数在该区间内为常数。

指数分布

指数分布描述的是连续型随机变量在两个相邻事件发生的时间间隔内的分布情况，通常用于描述寿命分布、服务时间分布等。

正态分布

正态分布是连续型随机变量分布中最为重要的一种，它描述的是影响某一指标的因素非常多且每个因素的影响都很小的情况下该指标的分布情况。正态分布具有对称性、集中性和可加性等特点。

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多维随机变量及其分布

联合分布函数

设$(X,Y)$是二维随机变量，对于任意实数$x,y$，二元函数$F(x,y)=P{(Xleqx)cap(Yleqy)}$称为二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数。

联合概率密度

如果二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数$F(x,y)$可微，则称函数$f(x,y)=frac{partial^2F(x,y)}{partialxpartialy}$为$(X,Y)$的联合概率密度。

边缘分布函数

二维随机变量$(X,Y)$关于$X$的边缘分布函数定义为$F_X(x)=F(x,infty)$，关于$Y$的边缘分布函数定义为$F_Y(y)=F(infty,y)$。

边缘概率密度

如果$(X,Y)$的联合概率密度$f(x,y)$存在，则$X$的边缘概率密度为$f_X(x)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dy$，$Y$的边缘概率密度为$f_Y(y)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dx$。

条件分布

在给定$X=x$的条件下，$Y$的条件分布函数为$F_{Y|X}(y|x)=frac{F(x,y)}{F_X(x)}$，条件概率密度为$f_{Y|X}(y|x)=frac{f(x,y)}{f_X(x)}$。同理，在给定$Y=y$的条件下，$X$的条件分布函数和条件概率密度也可类似定义。

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如果二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度等于各自边缘概率密度的乘积，即$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，则称$X$与$Y$相互独立。

独立性

如果二维随机变量$(X,Y