高考数学复习培训课件平面向量与空间向量.pptx

汇报人:XX

2024-01-24

高考数学复习培训课件平面向量与空间向量

目

录

CONTENCT

平面向量基本概念与运算

空间向量基本概念与运算

平面向量与空间向量关系剖析

高考中常见题型及解题策略

备考建议及复习方法分享

平面向量基本概念与运算

向量的定义

向量的表示方法

向量是具有大小和方向的量，用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。

向量可以用小写字母加箭头表示，如$vec{a}$，也可以用两个大写字母表示，如$vec{AB}$，表示起点为A，终点为B的向量。

向量加法满足平行四边形法则或三角形法则，即$vec{a}+vec{b}=vec{c}$，其中$vec{c}$是以$vec{a}$和$vec{b}$为邻边的平行四边形的对角线所表示的向量。

向量的加法

向量减法满足三角形法则，即$vec{a}-vec{b}=vec{c}$，其中$vec{c}$是起点与$vec{b}$的终点重合，终点与$vec{a}$的终点重合的有向线段所表示的向量。

向量的减法

向量的数量积

两个向量的数量积是一个实数，记作$vec{a}cdotvec{b}$，它的值等于两个向量的模的乘积再乘以它们夹角的余弦值，即$vec{a}cdotvec{b}=|vec{a}||vec{b}|costheta$。

向量的投影

一个向量在另一个向量上的投影是一个实数，记作$Proj_{vec{b}}vec{a}$，它的值等于两个向量的数量积再除以被投影向量的模，即$Proj_{vec{b}}vec{a}=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{b}|}$。

平面向量基本定理：如果$\vec{e_1}$和$\vec{e_2}$是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量$\vec{a}$，有且只有一对实数$x_1$和$x_2$，使得$\vec{a}=x_1\vec{e_1}+x_2\vec{e_2}$。

空间向量基本概念与运算

空间向量是空间中既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。

空间向量可以用有向线段的起点和终点坐标来表示，记作$vec{AB}$或$vec{a}$，其中$A$是起点，$B$是终点。

空间向量表示方法

空间向量定义

空间向量加法

空间向量加法满足平行四边形法则或三角形法则，即$vec{AB}+vec{BC}=vec{AC}$。

空间向量数乘

空间向量与实数的乘法满足数乘的定义，即$kvec{a}$的方向与$vec{a}$相同（$k0$）或相反（$k0$），大小是$|vec{a}|$的$k$倍。

空间向量的数量积定义为$vec{a}cdotvec{b}=|vec{a}|cdot|vec{b}|cdotcosvec{a},vec{b}$，其中$vec{a},vec{b}$是$vec{a}$与$vec{b}$的夹角。

空间向量数量积

空间向量$vec{a}$在$vec{b}$上的投影是$frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{b}|}$。

空间向量投影

空间向量基本定理：如果三个不共面的向量$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$不共线，那么对于空间中的任意一个向量$\vec{p}$，存在唯一的一组实数$x$、$y$、$z$，使得$\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$。

平面向量与空间向量关系剖析

两向量共线的充要条件是它们的坐标成比例，即存在实数k，使得向量a=k*向量b。

共线条件

三个向量共面的充要条件是它们的混合积为零，即向量a、向量b、向量c共面的充要条件是(a,b,c)=0。

共面条件

VS

通过平面的法向量和一点可以确定一个平面，进而可以将平面问题转化为空间问题。

空间到平面的投影

通过向量的投影公式，可以将空间向量投影到平面上，从而将空间问题转化为平面问题。

平面到空间的转换

已知向量a=(1,2)，向量b=(2,3)，判断向量a与向量b是否共线，并求出它们的夹角。

例题1

首先计算向量a与向量b的点积，得到a·b=1*2+2*3=8。由于点积不为零，所以向量a与向量b不垂直。然后计算向量a与向量b的模长，得到|a|=√(1^2+2^2)=√5，|b|=√(2^2+3^2)=√13。最后根据夹角的余弦公式cosθ=(a·b)/(|a|*|b|)，可以求出夹角θ。由于cosθ≠±1，所以向量a与向量b不共线。

解析

已知平面α的一个法向量为n=(1,2,3)，点A(1,1,1)在平面α内，点B(2,3,4)在平面α外，求点B到平面α的距离。

例题2

首先计算向量AB的坐标，得到AB=(2-1,