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控制论基础

（第3讲）

第二章控制系统的数学模型

§2.1引言

§2.2控制系统的时域数学模型

§1引言

控制论基础

§2控制系统的数学模型

控制论基础

时域模型—微分方程

复域模型—传递函数

§2控制系统的数学模型

2.1引言

数学模型:描述系统输入、输出变量以及内部各变

量之间关系的数学表达式

建模方法：解析法，实验法

2.2时域数学模型——微分方程

线性元部件、线性系统微分方程的建立

非线性系统微分方程的线性化

§2.1引言

数学模型

描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系

的数学表达式

建模方法

解析法（机理分析法）

根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程

实验法（系统辨识法）

给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用

适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性

§2.2控制系统的数学模型—微分方程

线性定常系统微分方程的一般形式

§2.2控制系统的数学模型—微分方程

§2.2.1线性元部件及系统的微分方程

例1R-L-C串连电路

§2.2.1线性元部件及系统的微分方程（1）

例2弹簧—阻尼器系统

§2.2.1线性元部件及系统的微分方程

电磁力矩：—安培定律

电枢反电势：—楞次定律

电枢回路：—克希霍夫

力矩平衡：—牛顿定律

电机时间常数

电机传递系数

消去中间变量i,Mm,Eb可得：

例3电枢控制式直流电动机

§2.2.1线性元部件及系统的微分方程（3）

反馈口：

放大器：

电动机：

减速器：

绳轮：

电桥：

消去中间变量可得：

例4X-Y记录仪

§2.2.2非线性系统微分方程的线性化（举例1）

取一次近似，且令

既有

例5已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。

解.在工作点(x0,y0)处展开泰勒级数

§2.2.2非线性系统微分方程的线性化（举例2）

解.在处泰勒展开，取一次近似

代入原方程可得

在平衡点处系统满足

上两式相减可得线性化方程

例6某容器的液位高度h与液体流入量Q满足方程

式中S为液位容器的横截面积。若h与Q在其工作点附近做微量

变化，试导出h关于Q的线性化方程。

线性定常微分方程求解

微分方程求解方法

复习拉普拉斯变换有关内容（1）

1复数有关概念

（1）复数、复函数

复数

复函数

例1

（2）模、相角

（3）复数的共轭

（4）解析

若F(s)在s点的各阶导数都存在，则F(s)在s点解析。

模

相角

复习拉普拉斯变换有关内容（2）

2拉氏变换的定义

（1）阶跃函数

3常见函数的拉氏变换

（2）指数函数

复习拉普拉斯变换有关内容（3）

（3）正弦函数

复习拉普拉斯变换有关内容（4）

（1）线性性质

4拉氏变换的几个重要定理

（2）微分定理

证明：

0初条件下有：

复习拉普拉斯变换有关内容（5）

解.

解.

复习拉普拉斯变换有关内容（6）

（3）积分定理

零初始条件下有：

进一步有：

例4求L[t]=?

解.

例5求

解.

复习拉普拉斯变换有关内容（7）

（4）实位移定理

证明：

例6

解.

复习拉普拉斯变换有关内容（8）

（5）复位移定理

证明：

例7

例8

例9

复习拉普拉斯变换有关内容（9）

（6）初值定理

证明：由微分定理

例10

复习拉普拉斯变换有关内容（10）

（7）终值定理

证明：由微分定理

例11

（终值确实存在时）

例12

复习拉普拉斯变换有关内容（11）

用拉氏变换方法解微分方程

L变换

系统微分方程

L-1变换

控制系统的数学模型

课程小结(1)

时域模型—微分方程

元部件及系统微分方程的建立

线性定常系统微分方程的特点

非线性方程的线性化

微分方程求解