函数的极限与连续的判定.pptx

函数的极限与连续的判定汇报人：XX2024-01-24XXREPORTING

目录极限概念及性质函数连续性判定方法极限存在准则及证明方法无穷小量比较与等价代换连续函数在闭区间上性质总结回顾与拓展延伸

PART01极限概念及性质REPORTINGXX

极限定义函数在某点的极限当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于的常数。函数在无穷远处的极限当自变量趋近于正无穷或负无穷时，函数值趋近于的常数。

当自变量从左侧趋近于某点时，函数值趋近于的常数。当自变量从右侧趋近于某点时，函数值趋近于的常数。左右极限右极限左极限

123若函数在某点的极限存在，则该极限唯一。唯一性若函数在某点的极限存在，则函数在该点的某个邻域内有界。局部有界性若函数在某点的极限存在且大于0（或小于0），则在该点的某个邻域内函数值也大于0（或小于0）。保号性极限性质

03无穷小量与无穷大量的关系在同一变化过程中，如果两个量都是无穷小量或都是无穷大量，那么它们的比可能是有限数、无穷大或无穷小。01无穷小量当自变量趋近于某一点或无穷远时，函数值趋近于0的量。02无穷大量当自变量趋近于某一点或无穷远时，函数值趋近于无穷大的量。无穷小量与无穷大量

PART02函数连续性判定方法REPORTINGXX

连续定义设函数$f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，若$lim_{Deltaxto0}[f(x_0+Deltax)-f(x_0)]=0$，则称函数$f(x)$在点$x_0$处连续。若函数$f(x)$在区间$I$上的每一点都连续，则称$f(x)$在区间$I$上连续。

第一类间断点左右极限都存在但不相等，或左右极限存在且相等但不等于函数值。第二类间断点左右极限至少有一个不存在。判断方法求出函数的左右极限，与函数在该点的值进行比较，根据定义判断间断点的类型。间断点类型与判断

若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则它在该区间上有最大值和最小值。中值定理：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，则至少存在一点$xiin(a,b)$，使得$f(xi)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。若函数$f(x)$和$g(x)$在点$x_0$处连续，则它们的和、差、积、商（分母不为零）也在点$x_0$处连续。连续函数性质

一致连续若对任意$epsilon0$，存在$delta0$，使得对任意$x_1,x_2inI$，当$|x_1-x_2|delta$时，有$|f(x_1)-f(x_2)|epsilon$，则称函数$f(x)$在区间$I$上一致连续。非一致连续若存在$epsilon0$，对任意$delta0$，总存在$x_1,x_2inI$，满足$|x_1-x_2|delta$但$|f(x_1)-f(x_2)|geqepsilon$，则称函数$f(x)$在区间$I$上非一致连续。判断方法利用一致连续的定义或反证法进行判断。一致连续与非一致连续

PART03极限存在准则及证明方法REPORTINGXX

VS若存在两个函数g(x)和h(x)，满足g(x)≤f(x)≤h(x)，且limg(x)=limh(x)=A，则limf(x)=A。夹逼准则的应用常用于求解一些复杂函数或数列的极限问题，通过构造两个易于求解的函数或数列进行夹逼。夹逼准则的定义夹逼准则

单调有界准则的定义若函数f(x)在某区间内单调增加（或减少），且存在上界（或下界），则f(x)在该区间内存在极限。单调有界准则的应用用于判断一些单调函数的极限是否存在，以及求解某些数列的极限问题。单调有界准则

对于任意正数ε，存在正整数N，当m,nN时，有|a_m-a_n|ε，则数列{a_n}收敛。柯西收敛准则的定义用于判断数列是否收敛，以及求解某些函数的极限问题。柯西收敛准则的应用柯西收敛准则

泰勒公式在极限计算中应用f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+f(a)/2!(x-a)^2+...+f^n(a)/n!(x-a)^n+R_n(x)，其中R_n(x)为余项。泰勒公式的定义通过泰勒公式将复杂函数展开为多项式形式，从而简化极限的计算过程。同时，可以利用泰勒公式的余项估计误差范围。泰勒公式在极限计算中的应用

PART04无穷小量比较与等价代换REPORTINGXX

高阶、低阶无穷小若lim(β/α)=0，则称β是α的高阶无穷小，记作β=o(α)；若lim(α/β)=0，则称α是β的低阶无穷小。等价无穷小若lim(β/α)=1，则称β是α的等价无穷小，记作α~β。同阶无穷小若lim(β/α)=c≠0，则称β是α的同阶