空间向量与共线与垂直.pptx

空间向量与共线与垂直汇报人：XX2024-01-26

目录空间向量基本概念与性质共线向量判定定理及应用垂直向量判定定理及应用空间向量在平面几何中应用空间向量在立体几何中应用总结与拓展

01空间向量基本概念与性质

空间向量定义及表示方法空间向量定义空间向量是空间中既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。空间向量表示方法空间向量可以用有向线段AB（起点为A，终点为B）表示，也可以用字母a表示。若向量AB的起点为坐标原点O，则向量AB可表示为OB或b。

向量的加法空间向量加法满足平行四边形法则或三角形法则。设向量a与向量b不共线，则以a、b为邻边作平行四边形，a与b所夹的对角线就是a+b；或以a、b为邻边作三角形，将a、b首尾相接，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量就是a+b。向量的减法空间向量减法满足三角形法则。将向量a与向量b的起点重合，从向量b的终点指向向量a的终点的向量就是a-b。向量的数乘实数λ与空间向量a的积是一个向量，记作λa。当λ0时，λa的方向与a的方向相同，λa的模等于|λ|乘以a的模；当λ0时，λa的方向与a的方向相反，λa的模等于|λ|乘以a的模；当λ=0时，λa是零向量。空间向量线性运算规则

空间向量的数量积：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b。零向量与任意向量的数量积为0。空间向量数量积与性质

空间向量数量积的性质a⊥b〈=〉a·b=0。a·a=|a|的平方。空间向量数量积与性质

03λ(μa)=(λμ)a（满足结合律）。01|a·b|≤|a|·|b|。02a·b=b·a（满足交换律）。空间向量数量积与性质

(λ+μ)a=λa+μa（满足分配律）。λ(a+b)=λa+λb（满足数乘分配律）。空间向量数量积与性质

02共线向量判定定理及应用

若向量$vec{a}$与$vec{b}$共线，则存在实数$k$，使得$vec{a}=kvec{b}$或$vec{b}=kvec{a}$。性质定义：若两向量方向相同或相反，则称这两向量共线。零向量与任何向量共线。若两非零向量共线，则它们的线性组合仍为共线向量。共线向量定义及性质0103020405

充分性若$vec{a}=kvec{b}$，则$vec{a}$与$vec{b}$方向相同或相反，即$vec{a}$与$vec{b}$共线。定理内容对于非零向量$vec{a}$和$vec{b}$，$vec{a}$与$vec{b}$共线的充分必要条件是存在唯一实数$k$，使得$vec{a}=kvec{b}$。必要性若$vec{a}$与$vec{b}$共线，则存在实数$k$，使得$vec{a}=kvec{b}$。由于$vec{a}$和$vec{b}$是非零向量，因此$k$是唯一的。共线向量判定定理

平行四边形的性质01在平行四边形中，对角线将平行四边形分为面积相等的两个三角形，且对角线互相平分。这些性质可以通过共线向量的概念进行证明。三角形的重心02三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心。通过共线向量的概念，可以证明重心将中线分为2:1的两段。平面几何中的其他问题03共线向量的概念在平面几何的许多问题中都有应用，如证明两直线平行、证明两线段相等、求解角度等。通过灵活运用共线向量的性质和判定定理，可以简化问题的求解过程。共线向量在几何问题中应用

03垂直向量判定定理及应用

性质垂直向量间的夹角为90度。若向量$vec{a}$与$vec{b}$垂直，则$vec{a}$与$kvec{b}$（$k$为非零常数）也垂直。零向量与任何向量都垂直。定义：若两向量的点积为零，则称这两向量垂直。垂直向量定义及性质

输入标直向量判定定理定理：两向量$vec{a}$和$vec{b}$垂直的充分必要条件是它们的点积$vec{a}cdotvec{b}=0$。在二维空间中，若$vec{a}=(x_1,y_1)$，$vec{b}=(x_2,y_2)$，则$vec{a}perpvec{b}Leftrightarrowx_1x_2+y_1y_2=0$。若$vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$，则$vec{a}perpvec{b}Leftrightarrowx_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0$。推论

求法线证明垂直构建坐标系解决距离问题垂直向量在几何问题中应用在平面或空间中，给定一个平面或直线，可以求其法线向量，法线向量与平面或直线上任意向量垂直。在三维空间中，可以选择三个两两垂直的向量作为坐标轴，从而构