多项式函数与多项式方程的性质.pptx

多项式函数与多项式方程的性质

汇报人：XX

2024-01-24

目录

CONTENTS

多项式函数基本概念与性质

多项式方程基本概念与解法

多项式函数图像与性质分析

多项式方程根的性质研究

多项式函数与多项式方程关系探讨

总结回顾与拓展延伸

多项式函数基本概念与性质

多项式中最高次项的次数，记作$degf$。例如，多项式$f(x)=3x^4-2x^2+1$的次数为$4$。

次数

多项式中各项前的常数因子。例如，多项式$f(x)=3x^4-2x^2+1$中，$3$、$-2$和$1$分别为各项的系数。

系数

多项式中单项式的个数。例如，多项式$f(x)=3x^4-2x^2+1$中有$3$个项。

项数

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02

03

加法运算

除法运算

因式分解

多项式的根

乘法运算

减法运算

同类项合并，不同类项直接相加。例如，$(x^2+2x+1)+(x^2-x)=2x^2+x+1$。

同类项相减。例如，$(x^2+2x+1)-(x^2-x)=3x+1$。

按分配律进行乘法运算。例如，$(x+1)(x-1)=x^2-1$。

长除法或综合除法求商和余数。例如，$(x^3-x^2+x)div(x-1)=x^2+1$余$1$。

将多项式表示为几个整式的乘积形式。常见的因式分解方法有提公因式法、公式法、分组分解法等。例如，$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$。

使多项式等于零的$x$值。例如，多项式$f(x)=x^2-4$的根为$x=pm2$。

多项式方程基本概念与解法

对于任意多项式方程，当且仅当该方程的最高次项系数不为零时，方程至少有一个解。

解的存在性定理

对于一元n次多项式方程，如果它的n个根都不相等，则这n个根就是该方程的全部解，且每个解都是唯一的。

解的唯一性定理

求解方法：多项式方程的求解方法主要有因式分解法、配方法、公式法和数值解法等。

01

02

03

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02

03

3.如果选择配方法，则通过配方将多项式转化为完全平方的形式。

4.如果选择公式法，则直接套用求根公式进行计算。

5.如果选择数值解法，则利用计算机或计算器进行迭代计算，求得近似解。

多项式函数图像与性质分析

01

02

03

04

确定多项式的次数和系数，理解其基本形态。

找出多项式函数的零点，即解多项式方程，确定函数图像与x轴的交点。

确定多项式函数的拐点，即求导后令导数等于零的点，确定函数图像的转折点。

根据零点、拐点和多项式次数，绘制出多项式函数的大致图像。

01

若多项式函数满足f(-x)=f(x)，则为偶函数；若满足f(-x)=-f(x)，则为奇函数。

多项式函数具有奇偶性的判断方法

02

若多项式函数图像关于y轴对称，则为偶函数；若关于原点对称，则为奇函数。

多项式函数对称性的判断

03

多项式函数不具有周期性。

多项式函数周期性的判断

单调性判断

通过对多项式函数求导，判断导数的正负来确定函数的单调区间。

极值判断

在单调性发生变化的地方，即导数为零的点，判断多项式函数的极值。

最值判断

多项式函数在其定义域内必有最大值和最小值，可以通过比较极值和端点处的函数值来确定最值。

多项式方程根的性质研究

中间值定理

若多项式函数在区间[a,b]的端点取值异号，则在该区间内至少存在一个根。

笛卡尔符号法则

多项式正系数和负系数的个数之差（或和）提供了根的个数或可能的最小值。

Sturm序列

通过构造特定序列，利用序列的变号数判断给定区间内多项式方程的实根个数。

对于n次多项式方程，其n个根的和等于其次数最高的系数的相反数，n个根的积等于常数项。

Vieta公式

根与系数的关系

根的界

多项式的根与其系数之间存在一定关系，如根的和、积、对称性等。

利用多项式的性质，可以估计多项式方程的根的上界和下界。

若多项式方程存在重根，则其与导数多项式有公共根。

重根判定

通过计算判别式的值，可以判断多项式方程的根的情况（实数根、复数根、重根等）。

判别式

判别式与多项式的系数有关，其正负和零的情况分别对应不同的根的性质。

判别式的性质

多项式函数与多项式方程关系探讨

01

通过将多项式函数与其他函数复合，可以构造出具有特定性质的新函数，如奇偶性、周期性等。

02

复合函数的性质可通过原函数的性质推导得出，如复合函数的单调性、极值点、拐点等。

03

复合函数在求解某些复杂问题时具有优势，如通过构造复合函数简化方程求解过程。

在求解高次多项式方程时，可通过构造复合函数将原方程转化为低次方程进行求解。

在研究多项式函数的图像和性质时，可通过分析其零点和极值