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考研概率论和数理统计汇报人：AA2024-01-19

contents目录概率论基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布数理统计基本概念与方法假设检验与方差分析回归分析初步了解

概率论基本概念01

样本空间与事件事件必然事件样本空间的子集，即某些可能结果的集合。包含样本空间中所有样本点的事件。样本空间基本事件不可能事件所有可能结果的集合，常用大写字母S表示。只包含一个样本点的事件。不包含任何样本点的事件。

描述某一事件发生的可能性大小的数值，常用P(A)表示事件A发生的概率。非负性、规范性（必然事件的概率为1）、可加性（互斥事件的概率和等于它们并的概率）。概率定义及性质概率性质概率定义

条件概率与独立性条件概率在某一事件B已经发生的条件下，另一事件A发生的概率，记作P(A|B)。事件的独立性如果两个事件A和B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A和B是相互独立的。

全概率公式与贝叶斯公式如果事件B1,B2,...,Bn构成一个完备事件组，且都具有正概率，则对任一事件A，有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)。全概率公式在全概率公式的条件下，可以推导出贝叶斯公式，即P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/[P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)]，用于求解某一事件已经发生的条件下，另一事件发生的概率。贝叶斯公式

随机变量及其分布02

随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将随机试验的结果映射为实数。随机变量定义根据取值的不同，随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量。随机变量分类随机变量概念及分类

离散型随机变量的分布律描述了随机变量取各个可能值的概率。分布律定义二项分布、泊松分布、几何分布等。常见离散型分布离散型随机变量分布律

概率密度函数定义连续型随机变量的概率密度函数描述了随机变量在某个区间内取值的概率分布情况。常见连续型分布正态分布、均匀分布、指数分布等。连续型随机变量概率密度函数

VS随机变量函数是由随机变量构成的函数，其取值也是随机的。随机变量函数的分布根据随机变量的取值和概率分布情况，可以推导出随机变量函数的分布情况，如期望、方差等。随机变量函数的定义随机变量函数分布

多维随机变量及其分布03

联合分布函数描述二维随机变量$(X,Y)$在某一取值范围内的概率，即$F(x,y)=P(Xleqx,Yleqy)$。联合概率密度函数对于连续型二维随机变量，其联合概率密度函数$f(x,y)$满足$F(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$。联合分布律对于离散型二维随机变量，其联合分布律为$P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}$，表示$X$取$x_i$且$Y$取$y_j$的概率。二维随机变量联合分布

边缘分布函数由联合分布函数推导出的单一随机变量的分布函数，即$F_X(x)=F(x,+infty)$和$F_Y(y)=F(+infty,y)$。边缘概率密度函数对于连续型二维随机变量，其边缘概率密度函数分别为$f_X(x)=int_{-infty}^{+infty}f(x,y)dy$和$f_Y(y)=int_{-infty}^{+infty}f(x,y)dx$。条件分布在已知一个随机变量取值的条件下，另一个随机变量的分布。对于连续型二维随机变量，条件概率密度函数为$f_{X|Y}(x|y)=frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$和$f_{Y|X}(y|x)=frac{f(x,y)}{f_X(x)}$。边缘分布与条件分布

独立性判断及应用在概率论和数理统计中，独立性是一个重要概念。它使得我们可以简化复杂问题的分析过程，如多维随机变量的期望、方差等性质的计算。独立性应用如果两个随机变量的联合分布等于各自边缘分布的乘积，即$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$或$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，则称这两个随机变量相互独立。独立性定义通过比较联合分布与边缘分布的乘积来判断两个随机变量是否独立。若相等则独立，否则不独立。独立性判断方法

变换法则通过一定的变换关系将多维随机变量的函数转化为另一组随机变量的函数，并求出其分布。常见的变换有线性变换、非线性变换等。卷积公式对于两个相互独立的连续型随机变量之和的分布，可以通过卷积公式求解。即如果$Z=X+Y$且$X,Y$相互独立，则$f_Z(z)=int_{-infty}^{+infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy$。多维正态分布