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第六章

自由电子费米气体

(金属自由电子论)

FreeElectronFermiGas;金属元素有大约75种之多，在自然界大约有2/3以上的固态纯元素属于金属。;许多固体具有导电性，这意味着在这固体内有许多电子并没有真正被原子所束缚住，相反的这些电子可以在固体内遨游。

具有导电性的固体可被区分成两类，那便是金属与半导体。

在这章节内我们将只针对金属进行讨论。;§6.1

金属自由电子论

的物理模型;1.Drude的金属自由电子论;1.Drude的金属自由电子论;1〕金属晶体中的传导电子只与离子实发生碰撞〔后面可以看到，电子与电子之间的碰撞几率根本可以忽略〕，忽略了离子实与传导电子之间的库仑相互作用，称为自由电子近似〔freeelectronapproximation〕。

2〕忽略了电子与电子之间的库仑排斥相互作用，成为独立电子近似〔independentelectronapproximation〕。;

4〕一个电子与离子实两次碰撞之间的平均时间间隔称为弛豫时间，它与电子的速度和位置无关，称为弛豫时间近似〔relaxationapproximation〕。;特鲁德模型的应用;me——电子的质量

t——传导电子与离子实发生碰撞的平均自由时间;——实验测定金属的电阻率r，来估计平均自由时间t;freeelectronapproximation

离子实〔金属原子间距〕大约也就是这个量级，可以看出，与Drude模型的假设比较吻合。

——但实验中发现金属中电子的平均自由程要比以上特

鲁德模型的估算值大得多。Cu：T=4K，

也就是Drude模型当中的假设并不是适用于一切情况。

;问题;——设单位体积内的电子数为n，那么电子气系统的内能密

度为;1904年，洛伦兹开展了该模型，将麦克斯韦—玻尔兹曼统计规律引人，认为电子速度服从麦克斯韦—玻尔兹曼统计分布律。;获得的平均自由程和热容与实验结果严重不符，实验上热容仅是理论值的1%(电子参与导电过程，但对热导好似没有参与，为什么？〕；在处理磁化率等问题上也遇到根本性的困难。;量子力学对金属中电子的处理;2．Sommerfeld的自由电子论;传导电子在金属中自由运动，电子与电子之间有很强的排斥力，电子与离子实之间有很强的吸引力。Sommerfeld自由电子理论认为把离子实的电荷抹散成一个正电荷背景(这样周期势场就不存在了)好象“凝胶〞一样。这种“凝胶〞的作用纯粹是为了补偿传导电子之间的排斥作用，以至于使得这些传导电子不至于因为彼此之间很强的排斥作用而从金属晶体中飞溅出去，这就相当于“凝胶〞模型。;电子在运动中存在一定的散射机制〔为什么要有散射机制？〕。;§6.2能级和轨道密度;一、运动方程及其解;方程的解：;因为波函数Y(r)同时也是动量算符的本征态，所以处于Y(r)态的电子有确定的动量，可以写成;波矢的取值问题;2.边界条件;以一维情况为例，讨论一下：;(2)周期性边界条件;假设在三个方向都用周期性边界条件：

薛定锷方程的解在三个方向都以L为周期重复，即：;在k空间中，电子态的分布是均匀的，分布密度只与金属的体积有关;这就是电子的色散关系，能量随波矢的变化是抛物线函数;对于三维晶体，需要的量子数：

①波矢k〔三个分量kx、ky、kz〕

②自旋量子数;电子在T=0k时所能填充到的最高等能面称为费米面。;——费米动量

Fermimomentum;三维时，每个波矢的体积为，每个波矢代表自旋相反的两个轨道，费米球的体积，那么：(轨道数等于总电子数);费米参量唯一决定于电子气密度，电子气的密度越大，各参量值越大。;如一些典型金属的费米面参数：

原子价金属n(cm-3)kF(cm-1)VF(cm/s)EF(eV)

1Na2.65×10220.92×1081.07×1083.23

2Zn13.10×10221.57×1081.82×10810.90

3Al18.06×10221.75×1082.02×10811.63

;4、能态密度;1、什么是能态密度;声