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实变函数与泛函分析
教学大纲
应用数学与信息计算等专业使用
修订单位:山东财政学院统计与数理学院
修订时间:2009年8月修订
1
课程中文名称:实变函数与泛函分析
课程英文名称:RealAnalysisandfunctionalAnalysis
课程号
学时数:68
学分数:4
先修课程:数学分析、线性代数
适用专业:应用数学与信息计算等专业。
一、课程的性质和任务
1.课程性质
《实变函数与泛函分析》是数学专业的一门专业基础课程。《实变函数》课
程结合抽象测度与积分理论,介绍Lebesgue测度与Lebesgue积分的理论。通
过本课程的学习,应使学生掌握测度论和实变函数论的基本理论和方法,并且
应用所学知识,解决一些相关的理论和应用问题,解决一些具有一定难度的习
题。同时,通过本课程的学习,要加深学生对数学分析课程中知识的理解,培养
学生严密的逻辑思维能力。《泛函分析》课程是现代教学中的一门较新的数学分
支,它综合地运用分析的,代数和几何的观点,方法研究分析数学中的许多问题,
由它把具体的分析问题,由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓
扑结构的形式中进行研究,因此逐步形成了综合运用代数,几何平段处理问题的
新方法,正因为这种纯粹形式的代数,拓扑结构是跟植于肥沃的经典分析和数学
物理土壤之中的,所以由此发展起来的基本概念,定理和方法也就显的更为广泛,
更为深刻,现在泛函分析已成为一门内容丰富,方法系统,体系完备,应用广泛
的独立分支,通过该课程的学习,学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法,
而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济,现代控制论,量子场论,统
计物理,工程技术等领域有很大帮助。
学生通过学习本课程,既能从较高的观点总结一、二年级学过的分析、代
1
数中的有关概念、理论和方法,又能获得抽象思维和逻辑论证的进一步训练,
为今后深入学习拓扑、微分方程、随机过程、最优化等现代数学各个学科提供
基础。
2.课程任务
通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象
能力和自学能力,还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去
分析解决问题的能力。
从内容上,通过这门课程的教学应使学生熟练掌握本课程的基本概念、基本
理论及其推导过程。系统掌握Lebesgue测度和Lebesgue积分理论,距离空间
的一些基本概念,赋范线性空间与内积空间基本概念,有界线性算子的概念,
共轭空间以及Banach空间一系列重要基本定理,线性算子性质,泛函表示定理,
共轭算子,自共轭算子概念等,使学生了解和掌握逐步深入地分析问题和解决问
题的方法,提高分析问题和解决问题的能力,培养抽象的思维能力,为进一步钻
研现代数学数学理论打下基础。
从能力方面,加强学生抽象思维能力、逻辑推理能力、自学能力与科学创新
能力培养。
从教学方法上,坚持“学生是‘学’主体、教师是‘教’关键”的人性化教
育的指导思想。努力启发学生的学习积极性、主动性,指导学生学习数学的思维
方法,掌握数学的基本理论与技巧。课堂教学采取启发式、互动式。作业布置精
心挑选,各种方法、各种题型都能得到练习,举一反三。注重基本概念的实际背
景和概念的形成过程。
二、课程教学内容
第一章集合
教学目的与要求:
要求理解与掌握的基本内容:集的运算及其运算规律,映射以及与映射有
2
关的一些概念。集的等势,可数集概念及其基本性质,实数集的不可数性。
教学重点与难点:
集的对等,Cantor三分集具有完备性,稀疏性。
教学内容:
1、集与集的运算:集的概念,集的运算,DeMorgan公式
2、映射与集的对等:映射的概念,Bernstein定理
3、可数集
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