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可测函数空间的完备性

LT

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abababab



1ab1ab1ab1ab1a1b

从而上的实值Lebesgue可测函数有

Xf(x),g(x),h(x)

f(x)h(x)f(x)g(x)g(x)h(x)



1f(x)h(x)1f(x)g(x)1g(x)h(x)

由前面知，上式两边均可积分。则

f(x)h(x)dxf(x)g(x)g(x)h(x)dx

X1f(x)h(x)X1f(x)g(x)1g(x)h(x)

f(x)g(x)dxg(x)h(x)dx

X1f(x)g(x)X1g(x)h(x)

即，。所以，按构成度

d(f,h)d(f,g)d(g,h)M(X)d(f,g)

量空间。

二、可测函数空间的完备性

(M(X),d)

⑴定义：Cauchy点列或基本点列：

在度量空间中，是中的点列，



(X,d)xX

nn1

如果对于任意正数0，在自然数，使

N=N()

得当时，必有。则称是中

m,nNd(x,x)xX

mnnn1

的Cauchy点列或基本点列。

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