常微分方程课件.pptxVIP

汇报人：AA

2024-01-26

常微分方程课件

引言

一阶常微分方程

高阶常微分方程

线性微分方程组

边值问题与特征值问题

数值解法与软件应用

01

引言

01

掌握常微分方程的基本概念、基本理论和基本方法

02

培养学生运用常微分方程知识分析问题和解决问题的能力

提高学生的数学素养和逻辑思维能力

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01

02

03

常微分方程的历史与发展

常微分方程的应用领域与重要性

常微分方程的定义与分类

认真听讲，做好笔记，及时复习

注重理解，掌握思想，避免死记硬背

多做习题，加强实践，提高解题能力

拓展阅读，开阔视野，增强综合素质

02

一阶常微分方程

形如$y=f(x)g(y)$的方程，其中$f(x)$和$g(y)$分别是$x$和$y$的函数。

通过变量分离，将方程转化为$intfrac{dy}{g(y)}=intf(x)dx+C$的形式，然后两边同时积分求解。

解法

定义

齐次方程

形如$y=fleft(frac{y}{x}right)$的方程，可以通过变量替换$u=frac{y}{x}$转化为可分离变量的方程。

非齐次方程

不能通过简单的变量替换转化为齐次方程的方程，需要采用其他方法求解，如常数变易法、待定系数法等。

一阶线性方程

形如$y+p(x)y=q(x)$的方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知函数。解法包括常数变易法和积分因子法。

伯努利方程

形如$y+p(x)y=q(x)y^n$的方程，其中$n$是常数且$nneq0,1$。可以通过变量替换$z=y^{1-n}$转化为一阶线性方程求解。

形如$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$的方程，其中$frac{partialM}{partialy}=frac{partialN}{partialx}$。解法是通过寻找一个函数$u(x,y)$使得$du=Mdx+Ndy$，然后求解$u=C$。

恰当方程

对于不满足恰当方程条件的方程，可以通过寻找一个积分因子$mu(x,y)$使得$muMdx+muNdy=0$成为恰当方程。常见的积分因子有$mu=e^{intp(x)dx}$或$mu=e^{-intq(y)dy}$等。

积分因子法

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高阶常微分方程

01

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高阶线性方程的定义与性质

线性方程的叠加原理

通解的结构与形式

特解与通解的关系

特征方程的根与通解的关系

举例与练习

常系数线性方程的特征方程

求解常系数线性方程的步骤

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04

01

欧拉公式的定义与性质

复数域上线性方程的通解形式

复数域上解的周期性、稳定性等性质

举例与练习

可化为线性方程的高阶非线性方程

高阶非线性方程的定义与性质

不可化为线性方程的高阶非线性方程

举例与练习

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03

04

04

线性微分方程组

线性微分方程组的定义

由一组线性微分方程构成的方程组，其中每个方程都是未知函数及其导数的线性组合。

线性微分方程组的分类

根据系数矩阵的性质，可分为常系数线性微分方程组、变系数线性微分方程组等。

线性微分方程组的解的性质

满足叠加原理和齐次性，即解的线性组合仍为解，且零解是唯一不变的解。

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01

矩阵指数法

通过构造系数矩阵的指数函数，将常系数线性微分方程组转化为矩阵形式的初值问题，进而求解。

拉普拉斯变换法

利用拉普拉斯变换将常系数线性微分方程组转化为代数方程，通过求解代数方程得到原方程组的解。

特征根法

对于常系数齐次线性微分方程组，通过求解特征方程得到特征根，进而构造出方程组的通解。

待定系数法

根据非齐次项的形式，设定含有待定系数的特解形式，代入原方程组求解待定系数，得到特解。

格林函数法

利用格林函数的性质，将非齐次线性微分方程组转化为积分方程，通过求解积分方程得到原方程组的解。

常数变易法

通过引入适当的常数变易，将非齐次线性微分方程组转化为齐次线性微分方程组，进而求解。

描述物体运动规律的牛顿第二定律、描述电磁场变化的麦克斯韦方程组等均可转化为微分方程组进行求解。

物理学中的应用

控制论中的状态空间模型、电路分析中的基尔霍夫定律等均可通过建立微分方程组进行建模和求解。

工程学中的应用

描述经济增长、市场均衡等问题的数学模型往往涉及到微分方程组的建立与求解。

经济学中的应用

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边值问题与特征值问题

边值问题定义

边值问题是一类定解问题，其解需要满足一组边界条件。在常微分方程中，边值问题通常涉及求解满足两个或多个边界条件的函数。

分类

根据边界条件的类型和性质，边值问题可分为线性边值问题、非线性边值问题、周期边值问