水波理论基础（一）.doc

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绪论

波动是物理学、数学和许多工程科学长期以来研究的重要内容之一。它所包含的内容极为广泛：水波、声波、光波和电磁波等，都属于该范畴。它们虽然千差万别，但又具有许多共同的特性，后者又形成了各个分支之间的相互关联，它们在理论上的相似之处又促进了人们在探讨各自的问题时相互借鉴。由于各种波区别很大，难于给出一个简单的波动定义，但是通常可以归纳其共性，作如下定义：

波是一种可被辨识的扰动（讯号），它以有限的速度自媒质的一处传播到另一处。

一般来说，这种扰动是指物理量（或者抽象为数学上的某种量）的改变，该量及其传播速度可以在传播过程中不断变化。

物理上的波动大都具有下述特点：

（1）可将能量由一地输运到另一地；

（2）具有动量，当被物面反射或吸收时会对该物面施加一定大小的力；

（3）波以有限速度传播。

人们通常按不同的情况和条件对波作各式各样的分类。从数学上，将波分成两大类：

（1）双曲型波——可用双曲型方程来描述的波，例如

（2）弥散波——描述波动方程的解具有某种弥散性，这是指该解所代表的波的某种传播速度不是恒定的，而是与波的某个（或若干个）特征量有关，例如

当其中的，且时所代表的波。若所述速度所依赖的特征量是波频，则称该弥散性为频率弥散性，简称频散性，即因频率的差异而引起的弥散；而若该特征量是波幅或波高，则称该弥散性为波幅弥散性，其弥散是由波幅或波高的差异而产生。许多弥散波兼有这两种弥散性。

注意到前一类是用方程的类型来定义，而后一类是用方程的解的性态来定义，故这两类波不是泾渭分明的，有些波同属这两类，因此这不是一种严格意义下的分类方法。

我们在此书中研究的是水表面波。水波大都是弥散波。不具有弥散性的那些双曲型波仅是某些特定条件下波的近似描述。

从物理观点来看，有两种极端情形的波，即振荡波和移动波。前一种指的是总质量迁移为零的波；后一种指的是水质点只朝一个方向移动的波。许多水波则是介于此二者之间的。

另外，从水波的波形变化的外部恢复力来看，可分为重力波和毛细波，二者的恢复力分别主要为重力与表面张力。对于我们所关注的工程问题，主要的是尺度较大的波，故重点讨论重力波。

此外，还有深水波和浅水波；长波和短波；线性波和非线性波等等划分。这些将在各章中分别论及。

水波理论有几个主要分支，其中较重要的是小振幅波理论、有限振幅波理论和长波理论等。许多复杂边界问题的周期运动在一定条件下可用小振幅波理论来确定。该理论也是风浪研究的基础，对于因表面或水域底部的突然扰动所引起的波有时也较适用，它还常用于船舶或海洋建筑物的兴波问题，以及海啸、水下爆炸等产生的波。但在许多情形下，由于实际的水波具有波峰较尖、波谷较平坦等非正弦波特征，小振幅波理论就不再适用，有时可用有限振幅波理论，将待求的波解用相对波高或相对波陡来做多项式展开，其中H为波高，为波长，h为水深，从而求得近似解。对于较浅水域，高阶解收敛较慢，甚至失效，有时可应用长波理论来处理。

尽管一阶（线性）理论的应用受限制较多，结果有时略嫌粗糙，但在目前阶段，实际工程应用中，它仍旧是最重要的理论之一。另一重要的理论是长波理论，它在处理相对水深很小时应用。此时流场中各点的速度主要表现在水平方向，水平方向的速度沿垂直方向的变化较小，故该水平速度可假设为与浸深无关，或者用它沿深度方向作平均所得的平均水平速度来讨论，而且其垂直加速度可被忽略。运动的垂直分量不影响压力分布，故压力主要表现为水静压力。此时的结果多表达于Airy长波理论中，但该理论只适用于很长的长波。由于它忽略了频散性，故使用限制较大。对该理论的进一步发展是计入弱频散性的弱非线性长波理论，后者是Boussinesq长波理论为代表。

先前人们只集注于波的波动性研究，随着量子力学的发展，波的粒子性逐渐为人们所重视。十九世纪中，S.Russell首次发现水孤立波；数十年后Korteweg和deVries导出KdV方程，从数学上证明其存在，这两个事件促进人们对水波的粒子性的认识，这个问题大大震动了物理学和数学界。在许多其它物理学分支中也相继发现了孤立波，后者在相互碰撞过程所呈现的粒子性（最初由Zabusky和Kruskal在1965年用数值计算方法所发现）使得这种孤立波被称作“孤立子”。人们还发现了，在某些条件下，向水域中增加某种能量，例如在很浅水域中超过所谓临界航速恒速行进的船对水做功，会持续地激发出具有粒子性质的孤立波。这一系列的发现和研究激发了应用数学领域中对孤立子理论的研究热情。孤立子理论和随之发展起来的逆散射法成为应用数学领域的两项必威体育精装版最迷人的成就。关于这方面所进行的一系列理论和实验研究也逐步加深了人们对水波的认识。

水波区别于其它波动的一大特点是自由表面的存在；加上问题的非线性，使其求解尤为困难。除非极特殊的问题，