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高考数学必威体育精装版真题专题解析—导数及其应用（新高考卷）
【母题来源】2022年新高考I卷
3−ᵆ+1，则()
【母题题文】已知函数ᵅ(ᵆ)=ᵆ
A.ᵅ(ᵆ)有两个极值点
B.ᵅ(ᵆ)有三个零点
C.点(0,1)是曲线ᵆ=ᵅ(ᵆ)的对称中心
D.直线ᵆ=2ᵆ是曲线ᵆ=ᵅ(ᵆ)的切线
【答案】ᵃᵃ
【分析】
本题考查利用导数研究函数的极值与零点以及曲线上一点的切线问题，函数的对
称性，考查了运算能力以及数形结合思想，属于中档题．
【解答】
3
32√
解：ᵅ(ᵆ)=ᵆ−ᵆ+1⇒ᵅ′(ᵆ)=3ᵆ−1，令ᵅ′(ᵆ)=0得：ᵆ=±，
3
3333
ᵅ′(ᵆ)0⇒ᵆ−√或ᵆ√；ᵅ′(ᵆ)0⇒−√ᵆ√，
3333
3333
√√√√
所以ᵅ(ᵆ)在(−∞,−)上单调递增，在(−,)上单调递减，在(,+∞)
3333
上单调递增，
33
所以ᵅ(ᵆ)有两个极值点(ᵆ=−√为极大值点，ᵆ=√为极小值点)，故A
33
正确;
33323333
√√√√√√√
又ᵅ(−)=−−(−)+1=1+0，ᵅ()=−+1=1−
3939393
23
√0，
9
所以ᵅ(ᵆ)仅有1个零点(如图所示)，故B错;
3+ᵆ+1⇒ᵅ(−ᵆ)+ᵅ(ᵆ)=2，所以ᵅ(ᵆ)关于(0,1)对称，
又ᵅ(−ᵆ)=−ᵆ
故C正确;
,ᵆ)，在ᵄ处的切线为32
对于ᵃ选项，设切点ᵄ(ᵆᵆ−(ᵆ−ᵆ+1)=(3ᵆ−
00000
1)(ᵆ−ᵆ)，
0
23
即ᵆ=(3ᵆ−1)ᵆ−2ᵆ+1，
00
2
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