函数极限的基本概念与性质.pptx

函数极限的基本概念与性质汇报人：XX2024-01-24XXREPORTING

目录极限思想的引入函数极限的定义函数极限的性质函数极限的求法函数极限的应用总结与展望

PART01极限思想的引入REPORTINGXX

古代数学中的极限思想表达了物质无限可分的思想，也体现了极限思想。庄子的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的哲学思想通过不断倍增正多边形的边数来逼近圆，体现了极限思想。割圆术用直线段来逼近曲线，从而求得曲边形的面积或体积。刘徽的“以直代曲”思想

03ε-δ语言用严格的数学语言定义了函数极限，为微积分学奠定了严密的基础。01柯西准则给出了数列收敛的充分必要条件，是极限概念的精确化表述。02维尔斯特拉斯聚点定理揭示了有界数列必有收敛子列的性质，进一步丰富了极限理论。近代数学中的极限概念

连续性的基础极限思想是研究函数连续性的重要工具，通过极限可以定义函数的连续性。导数和微分的基础导数和微分的定义都涉及到极限，因此极限思想是微积分学的基础。积分的基础定积分的定义是通过求极限来得到的，因此极限思想在积分学中也有重要地位。极限思想在数学分析中的地位030201

PART02函数极限的定义REPORTINGXX

当$x$趋近于$x_0$时，函数$f(x)$趋近于一个确定的常数$A$，则称$A$为函数$f(x)$当$x$趋近于$x_0$时的极限。描述性定义给出了函数极限的一种直观感受，即函数值在自变量趋近某一点时无限接近于一个常数。函数极限的描述性定义

对于任意小的正数$epsilon$，总存在正数$delta$，使得当$0|x-x_0|delta$时，有$|f(x)-A|epsilon$，则称$A$为函数$f(x)$当$x$趋近于$x_0$时的极限。精确性定义用严格的数学语言描述了函数极限的概念，是数学分析的基础。函数极限的精确性定义

若函数$f(x)$在$x_0$的某个去心邻域内有定义，且存在一个常数$A$，使得对于任意小的正数$epsilon$，总存在正数$delta$，满足当$0|x-x_0|delta$时，有$|f(x)-A|epsilon$，则称函数$f(x)$在$x_0$处存在极限。存在性若函数$f(x)$在$x_0$处存在极限，则该极限是唯一的。即若存在两个常数$A_1$和$A_2$都满足函数极限的定义，则必有$A_1=A_2$。唯一性函数极限的存在性与唯一性

PART03函数极限的性质REPORTINGXX

局部有界性如果函数在某点的极限存在，那么在该点的某个邻域内，函数值必然有界。局部有界性反映了函数在接近极限点时的变化趋势，是函数极限存在的一个必要条件。

如果函数在某点的极限存在且大于0（或小于0），那么在该点的某个邻域内，函数值也大于0（或小于0）。局部保号性说明了函数在接近极限点时的符号与极限值的符号相同。局部保号性

如果两个函数在某点的极限存在，那么它们的和在该点的极限也存在，且等于这两个极限的和。极限的加法运算法则如果函数在某点的极限存在且大于0，那么该函数的幂在该点的极限也存在，且等于该极限的幂。极限的幂运算法则如果两个函数在某点的极限存在，那么它们的积在该点的极限也存在，且等于这两个极限的积。极限的乘法运算法则如果两个函数在某点的极限存在且分母函数的极限不为0，那么它们的商在该点的极限也存在，且等于这两个极限的商。极限的除法运算法则极限的四则运算法则

PART04函数极限的求法REPORTINGXX

唯一性若函数在某点的极限存在，则该极限值唯一。局部保号性若函数在某点的极限存在且大于0（或小于0），则在该点的某个邻域内函数值也大于0（或小于0）。局部有界性若函数在某点的极限存在，则函数在该点的某个邻域内必有界。四则运算法则若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商的极限也存在，且等于各自极限的和、差、积、商。利用函数极限的性质求极限

0/0型不定式若两个函数在某点的极限均为0，且它们的导函数在该点的极限存在，则原函数的极限等于导函数极限的商。∞/∞型不定式若两个函数在某点的极限均为无穷大，且它们的导函数在该点的极限存在，则原函数的极限等于导函数极限的商。其他类型不定式通过适当的变换，将其他类型的不定式转化为0/0型或∞/∞型，然后应用洛必达法则。利用洛必达法则求极限

泰勒公式的引入通过泰勒公式将函数在某点附近展开为多项式，从而简化求极限的过程。泰勒公式的应用将函数在某点附近展开为泰勒级数，然后取前几项进行近似计算，从而求得函数在该点的极限。泰勒公式的误差分析通过泰勒公式的余项估计误差范围，确保近似计算的准确性。利用泰勒公式求极限

PART05函数极限的应用REPORTINGXX

判断函数的连续性通过函数极限可以判断函数在某一点是否连续，进而研究函数的连