对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间.pptxVIP

对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间汇报人：AA2024-01-24目录CONTENTS矩阵加法与数乘运算基本概念线性空间基本概念矩阵加法和数乘运算构成实数域上线性空间证明矩阵在线性空间中的应用举例总结与展望矩阵加法与数乘运算基本概念01矩阵定义及性质矩阵是一个由数值组成的矩形阵列，具有行和列的结构。矩阵的阶数由其行数和列数确定，如m×n矩阵表示有m行和n列。矩阵相等当且仅当它们的对应元素都相等。矩阵加法定义矩阵加法是指两个同阶矩阵对应元素相加得到一个新的同阶矩阵。设A=(aij)和B=(bij)是两个m×n矩阵，则它们的和C=A+B是一个m×n矩阵，其元素cij=aij+bij。数乘运算定义数乘运算是指一个数与一个矩阵相乘，得到一个新的矩阵，其中每个元素都乘以该数。设k是一个实数，A=(aij)是一个m×n矩阵，则数乘kA是一个m×n矩阵，其元素(kA)ij=kaij。运算性质总结矩阵加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。数乘运算满足分配律和结合律，即k(A+B)=kA+kB，(k+l)A=kA+lA。数乘运算与矩阵加法满足分配律，即k(A+B)=kA+kB，k·A+l·A=(k+l)A。010203每个矩阵都有负元，即对于任意矩阵A，都存在一个矩阵-A，使得A+(-A)=O。矩阵加法有零元，即存在一个零矩阵O，使得对任意矩阵A，都有A+O=A。0405线性空间基本概念02线性空间定义01线性空间是一个集合V，对于加法和数乘两种运算封闭，且满足八条性质。02加法运算满足交换律、结合律、存在零元素和存在负元素四条性质。03数乘运算满足分配律、结合律、存在单位元素和数乘对加法的分配律四条性质。线性空间性质线性空间的元素对加法和数乘两种运算是封闭的。01线性空间的加法运算满足交换律和结合律。02线性空间中存在零元素，且零元素是唯一的。03线性空间性质线性空间中任意元素都存在负元素。01线性空间的数乘运算满足分配律和结合律。02线性空间中存在单位元素，且单位元素是唯一的。03线性空间的数乘对加法满足分配律。04基、维数与坐标基01线性空间V中的一组线性无关的元素，且能够生成V，则称这组元素为V的一组基。维数02线性空间V中任意一组基的元素的个数都相同，这个相同的个数称为V的维数，记作dimV。坐标03对于线性空间V中的一组基和V中的一个元素，可以按照这组基将该元素唯一地表示为一个数组，这个数组称为该元素在这组基下的坐标。子空间与商空间子空间设W是线性空间V的一个非空子集，如果W对于V中的加法和数乘两种运算也构成线性空间，则称W是V的一个子空间。商空间设W是线性空间V的一个子空间，对于V中的任意两个元素α和β，如果α-β∈W，则称α和β在W下等价。V中所有与零元素等价的元素构成的集合称为W在V中的一个补空间，记作V/W。商空间V/W是一个线性空间，其加法运算和数乘运算分别由V中的加法和数乘运算诱导出来。矩阵加法和数乘运算构成实数域上线性空间证明03封闭性证明矩阵加法封闭性对于任意两个$mtimesn$矩阵$A$和$B$，其和$A+B$仍然是$mtimesn$矩阵，即加法运算在矩阵集合内封闭。数乘封闭性对于任意实数$k$和$mtimesn$矩阵$A$，数乘结果$kA$仍然是$mtimesn$矩阵，即数乘运算在矩阵集合内封闭。结合律证明矩阵加法结合律1对于任意三个$mtimesn$矩阵$A,B,C$，有$(A+B)+C=A+(B+C)$。数乘结合律2对于任意实数$k,l$和$mtimesn$矩阵$A$，有$(kl)A=k(lA)$。加法和数乘结合律3对于任意实数$k$和任意两个$mtimesn$矩阵$A,B$，有$k(A+B)=kA+kB$。交换律证明矩阵加法交换律对于任意两个$mtimesn$矩阵$A,B$，有$A+B=B+A$。数乘交换律数乘运算本身不具有交换性，即对于任意非零实数$k$和$mtimesn$矩阵$A$，一般而言，$kAneqAk$。但在此线性空间定义中，数乘运算的交换性不适用。存在零元素和负元素证明零元素存在性存在一个零矩阵$mathbf{0}$（所有元素均为0的$mtimesn$矩阵），使得对于任意$mtimesn$矩阵$A$，有$mathbf{0}+A=A+mathbf{0}=A$。负元素存在性对于任意$mtimesn$矩阵$A$，存在其负矩阵$-A$（即所有元素取反的矩阵），使得$A+(-A)=(-A)+A=mathbf{0}$。矩阵在线性空间中的应用举例04解线性方程组矩阵表示法将线性方程组表示为增广矩阵形式，便于进行矩阵运算。高斯消元法通过矩阵的初等行变