高等数学(微积分)课件--72正项级数敛散性的判别.pptxVIP

高等数学(微积分)课件--72正项级数敛散性的判别汇报人：AA2024-01-26正项级数基本概念与性质判别正项级数敛散性方法积分判别法及其应用拉阿贝判别法及其推广柯西准则在正项级数中应用总结回顾与拓展延伸CATALOGUE目录01正项级数基本概念与性质CHAPTER正项级数定义及例子定义正项级数是指各项均为正数的级数，即$sum_{n=1}^{infty}a_n$，其中$a_n0$。例子等比级数$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{2^n}$、调和级数$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n}$、$p$级数$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^p}$等。正项级数收敛与发散性质收敛性质正项级数收敛的充分必要条件是其部分和数列有界。发散性质若正项级数的部分和数列无界，则该级数发散。绝对收敛与条件收敛对于任意项级数，若其各项绝对值所构成的正项级数收敛，则称该级数绝对收敛；若原级数收敛但其各项绝对值所构成的正项级数发散，则称该级数条件收敛。比较原则与等价无穷小替换比较原则设$sum_{n=1}^{infty}a_n$和$sum_{n=1}^{infty}b_n$是两个正项级数，若存在某正数$N$和正常数$c$，使得当$nN$时，有$a_nleqcb_n$，则当$sum_{n=1}^{infty}b_n$收敛时，$sum_{n=1}^{infty}a_n$也收敛；当$sum_{n=1}^{infty}a_n$发散时，$sum_{n=1}^{infty}b_n$也发散。等价无穷小替换在正项级数的比较中，若两个正项级数的通项具有相同的阶数（即等价无穷小），则它们的敛散性相同。例如，当$xrightarrow0$时，$sinxsimx$，因此可以将某些含有$sinx$的级数通过等价无穷小替换为含有$x$的级数进行比较。02判别正项级数敛散性方法CHAPTER比较判别法定义通过比较两个级数的通项大小关系，来判断它们的敛散性。定理若正项级数∑un与∑vn满足un≤vn(n=1,2,3,...)，且∑vn收敛，则∑un也收敛。应用常用于判断一些通项较简单的级数的敛散性。比值判别法定义01通过计算正项级数的相邻两项之比，来判断其敛散性。定理02若正项级数∑un满足lim(n→∞)un+1/un=q1，则∑un收敛；若lim(n→∞)un+1/un=q1，则∑un发散。应用03常用于判断一些通项含有n的阶乘或指数函数的级数的敛散性。根值判别法定义通过计算正项级数的通项的n次方根，来判断其敛散性。定理若正项级数∑un满足lim(n→∞)√[n]{un}=q1，则∑un收敛；若lim(n→∞)√[n]{un}=q1，则∑un发散。应用常用于判断一些通项含有n的幂函数或复合函数的级数的敛散性。03积分判别法及其应用CHAPTER积分判别法原理及步骤原理：通过比较正项级数与某个函数的积分，来判断级数的敛散性。步骤构造一个与正项级数通项相关的函数；010203利用原函数在相应区间的性质，判断级数的敛散性。求该函数的原函数；0405典型例题分析与求解过程例题1判断级数$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2}$的敛散性。分析该级数是一个正项级数，可以考虑使用积分判别法。典型例题分析与求解过程求解过程构造函数$f(x)=frac{1}{x^2}$；求原函数$F(x)=-frac{1}{x}$；典型例题分析与求解过程例题2分析判断级数$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{sqrt{n}}$的敛散性。该级数是一个正项级数，可以考虑使用积分判别法。VS典型例题分析与求解过解过程构造函数$f(x)=frac{1}{sqrt{x}}$；求原函数$F(x)=2sqrt{x}$；利用原函数在区间$[1,+infty)$上的性质，可知$int_{1}^{+infty}frac{1}{sqrt{x}}dx$发散，因此级数$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{sqrt{n}}$发散。积分判别法适用范围及注意事项适用范围：适用于通项可以表示为某个函数的正项级数。在实际应用中，还需要注意级数的收敛速度与精度等问题。注意事项如果所构造的函数在相应区间上不是单调的，则需要通过其他方法来判断级数的敛散性；在使用积分判别法时，要确保所构造的函数在相应区间上是单调的；04拉阿贝判别法及其推广CHAPTER拉阿贝判别法原理及步骤0102030405原理：拉阿贝判别法是一种基于比较原则的正项级数敛散性判别方法，通过构造一个已知敛散性的级数，将待判断级数与之进行比较，从而确定待判断级数的敛散性。步骤构造一个已