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多元函数微分学汇报人：AA2024-01-25

目录contents多元函数基本概念与性质多元函数微分法多元函数微分学应用多元函数极值理论与条件极值问题多元函数微分学在经济学等领域应用总结与展望

01多元函数基本概念与性质

多元函数的定义设$D$为一个非空的$n$元有序数组的集合，$f$为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组$(x1,x2,…,xn)∈D$，通过对应规则$f$，都有唯一确定的实数$y$与之对应，则称对应规则$f$为定义在$D$上的$n$元函数。多元函数的表示方法多元函数可以用多种方式表示，包括解析式、表格和图象等。其中，解析式表示法是最常用的一种，它用一个数学公式来表示函数关系。多元函数定义及表示方法

设函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数$epsilon$（无论它多么小），总存在正数$delta$，使得当点$P(x,y)$满足不等式$0|(x-x_0)^2+(y-y_0)^2|delta$时，都有$|f(x,y)-A|epsilon$成立，那么就称常数A为函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的极限。多元函数的极限如果函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的极限值等于该点的函数值，即$lim_{{(x,y)to(x_0,y_0)}}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，则称函数在该点连续。多元函数的连续性多元函数极限与连续性

偏导数概念：偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率。设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y_0$而$x$在$x_0$处有增量$Deltax$时，相应地函数有增量$Deltaz=f(x_0+Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)$。如果$Deltaz$与$Deltax$之比当$Deltaxto0$时的极限存在，那么称这个极限为函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数。全微分概念：全微分反映的是多元函数在某一点附近的全局变化率。如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全增量$Deltaz=f(x+Deltax,y+Deltay)-f(x,y)$可以表示为$Deltaz=ADeltax+BDeltay+o(rho)$，其中A和B不依赖于$Deltax$和$Deltay$而仅与$x$和$y$有关，$rho=sqrt{(Deltax)^2+(Deltay)^2}$，则称函数在该点可微，并称A和B分别为函数在该点关于$x$和关于$y$的偏导数。偏导数与全微分的计算：偏导数和全微分的计算通常涉及到求导法则、链式法则等微积分的基本概念和技巧。具体计算过程需要根据函数的表达式和问题的具体要求进行。010203偏导数与全微分概念及计算

02多元函数微分法

高阶链式法则对于多次复合的函数，需要反复应用链式法则，直到求出最终导数。微分形式不变性复合函数的微分形式与一元函数的微分形式相同，即$d(u(x))=u(x)dx$。链式法则对于复合函数，其导数可以通过链式法则求解，即先对内部函数求导，再与外部函数的导数相乘。复合函数微分法

隐函数的导数通过隐函数的两边同时对自变量求导，可以解出隐函数的导数。多元隐函数的偏导数对于多元隐函数，需要分别对每个自变量求偏导数，方法类似于一元隐函数的求导。隐函数存在定理在一定条件下，隐函数可以表示为显函数，且显函数的导数可以通过隐函数的导数求得。隐函数微分法

参数方程的导数参数方程表示的曲线在某点的切线斜率，可以通过参数方程对参数求导得到。高阶导数对于参数方程表示的函数，其高阶导数可以通过对参数方程多次求导得到。参数方程与直角坐标的转换参数方程可以转换为直角坐标方程，转换后的方程可以通过常规的微分方法进行求导。参数方程微分法030201

03多元函数微分学应用

空间曲线切线与法平面方程空间曲线切线方程通过参数方程或一般方程描述的空间曲线，在某一点处的切线方程可以通过求导得到切线的方向向量，进而求得切线方程。法平面方程与切线垂直的平面称为法平面，其方程可以通过切线的方向向量和切点坐标求得。

对于给定的空间曲面，在某一点处的切平面方程可以通过求该点的偏导数得到切平面的法向量，进而求得切平面方程。与切平面垂直的直线称为法线，其方程可以通过切平面的法向量和切点坐标求得。空间曲面切平面与法线方程法线方程空间曲面切平面方程

方向导数函数在某一点沿某一方向的变化率称为方向导数，可以通过求偏导数和方向余弦得到。梯度函数在某一点处的梯度是一个向量，其方向是函数在该点处变化最快的方向，大小等于该方向的方向导数。梯度可以通过求偏导数得到