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高等数学(微积分学)教学课件汇报人：AA2024-01-24

绪论极限与连续导数与微分积分学微分方程无穷级数目录

01绪论

古代微积分思想的萌芽01古希腊时期，阿基米德利用穷竭法计算面积和体积，中国古代数学家刘徽提出割圆术，这些都是微积分思想的早期萌芽。17世纪微积分的创立0217世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微积分学，其中牛顿注重物理应用，莱布尼茨则更注重数学形式。18-19世纪微积分的发展03这一时期，数学家们对微积分的理论基础进行了深入研究，如柯西、魏尔斯特拉斯等人对极限理论的贡献，使得微积分学更加严密。微积分学的历史与发展

研究对象微积分学主要研究函数及其相关性质，包括函数的极限、连续性、可微性、可积性等。任务微积分学的任务主要包括以下几个方面：建立函数的概念，研究函数的性质；建立极限理论，研究函数的极限及其性质；建立微分学，研究函数的微分及其性质；建立积分学，研究函数的积分及其性质。微积分学的研究对象与任务

基本思想微积分学的基本思想包括“以直代曲”、“以不变代变”等，即通过局部线性近似来研究非线性问题，通过常量近似来研究变量问题。方法微积分学的方法主要包括极限方法、微分方法和积分方法。其中极限方法是微积分学的理论基础，微分方法用于研究函数的局部性质，积分方法则用于研究函数的全局性质。这些方法在解决实际问题时具有广泛的应用价值。微积分学的基本思想与方法

02极限与连续

123描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。极限的定义唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则。极限的性质单调有界数列必有极限，夹逼定理。极限存在的条件极限的概念与性质

极限为零的变量称为无穷小量。无穷小量的定义绝对值无限增大的变量称为无穷大量。无穷大量的定义无穷小量的倒数是无穷大量，反之亦然。无穷小量与无穷大量的关系有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量。无穷小量的性质无穷小量与无穷大量

03连续函数的性质局部有界性、局部保号性、四则运算法则、复合函数的连续性。01连续函数的定义函数在某一点连续，当且仅当函数在该点的极限值等于函数值。02间断点的类型第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）和第二类间断点（无穷间断点、振荡间断点）。函数的连续性

闭区间上连续函数的性质有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理、零点存在定理。一致连续性的概念描述函数在某一区间上整体连续的性质。一致连续性的判定Cantor定理、Heine定理等。连续函数的应用在经济学、物理学、工程学等领域中的应用举例。连续函数的性质

03导数与微分

通过极限思想，定义函数在某一点处的切线斜率。导数的定义导数的几何意义可导与连续的关系导数的性质描述函数图像在某一点处的切线斜率和变化率。可导必连续，连续不一定可导。包括局部性质（如单调性、极值）和全局性质（如凸性、拐点）。导数的概念与性质

包括常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。基本初等函数的导数公式加法、减法、乘法、除法的求导法则。四则运算的导数法则链式法则的应用。复合函数的求导法则通过对方程两边同时求导来求解隐函数的导数。隐函数的求导法则导数的计算法则

微分的定义函数在某一点处的微小变化量。微分的几何意义描述函数图像在某一点处的微小切线段。微分的基本公式和运算法则包括基本初等函数的微分公式和四则运算的微分法则。微分在近似计算中的应用如利用微分求函数的近似值、估计误差等。微分及其应用

高阶导数与隐函数求导高阶导数的定义与性质二阶及二阶以上的导数称为高阶导数，具有描述函数更精细变化的能力。高阶导数的计算法则逐次求导法则和莱布尼兹公式等。隐函数的二阶导数求法通过对方程两边同时求二阶导数来求解隐函数的二阶导数。高阶导数在函数性态研究中的应用如判断函数的凸性、拐点等。

04积分学

不定积分的定义原函数与导函数的关系，不定积分的符号表示。基本积分公式与法则常见函数的积分公式，积分法则的应用。不定积分的性质线性性质、积分区间可加性、常数倍性质。不定积分的概念与性质

通过变量代换简化积分，包括三角代换、根式代换等。换元积分法适用于被积函数为两个函数乘积的形式，通过分部计算简化积分。分部积分法结合换元法与分部积分法求解复合函数的积分。复合函数的积分换元积分法与分部积分法

定积分的定义定积分的几何意义，定积分的符号表示。定积分的性质线性性质、积分区间可加性、保序性、绝对可积性。微积分基本定理建立不定积分与定积分之间的联系，揭示微分与积分的互逆关系。定积分的概念与性质

定积分的计算利用原函数求定积分，利用定积分的性质简化计算。定积分的应用求面积、体积、弧长等几何量，求物理量如功、压力等。广义积分无穷区间上的定积分，无界函数的定积分，其计算与应用。定积分的计算与应用

05微分方程

微分方程的定义含有未知函数及其导数的方程初始条件确定解在某个点的取值条