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考研数学高数中值定理的详解

考研数学高数中值定理的详解

我们在准备考研数学高数的复习手，面对中值定理，我们应该掌握好它的方法。店铺

为大家精心准备了考研数学高数中值定理的解析，欢迎大家前来阅读。

考研数学高数7大中值定理详解

七大定理的归属。

零点定理与介值定理属于闭区间上连续函数的性质。三大中值定理与泰勒定理同属于

微分中值定理，并且所包含的内容递进。积分中值定理属于积分范畴，但其实也是微分中

值定理的推广。

对使用每个定理的体会

学生在看到题目时，往往会知道使用某个中值定理，因为这些问题有个很明显的特征

—含有某个中值。关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。

1、使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b之间有一个(或者只有一

个)根”。从题目中我们一目了然，应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。应当注

意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭

区间内时，需要对这些端点做例外说明。

2、介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明，如“证明在(a,b)内存在

ξ，使得f(ξ)=c”，仅需要说明函数f(x)在[a,b]内连续，以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域

内。

3、用微分中值定理说明的问题中，有两个主要特征：含有某个函数的导数(甚至是高

阶导数)、含有中值(也可能有多个中值)。应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数。

在微分中值定理证明问题时，需要注意下面几点：

(1)当问题的结论中出现一个函数的一阶导数与一个中值时，肯定是对某个函数在某

个区间内使用罗尔定理或者拉格朗日中值定理;

(2)当出现多个函数的一阶导数与一个中值时，使用柯西中值定理，此时找到函数是

最主要的;

(3)当出现高阶导数时，通常归结为两种方法，对低一阶的导函数使用三大微分中值

定理、或者使用泰勒定理说明;

(4)当出现多个中值点时，应当使用多次中值定理，在更多情况下，由于要求中值点

不一样，需要注意区间的选择，两次使用中值定理的区间应当不同;

(5)使用微分中值定理的难点在于如何构造函数，如何选择区间。对此我的体会是应

当从需要证明的结论入手，对结论进行分析。我们总感觉证明题无从下手，我认为证明题

其实不难，因为证明题的`结论其实是对你的提示，只要从证明结论入手，逐步分析，必

然会找到证明方法。

4、积分中值定理其实是微分中值定理的推广，对变上限函数使用微分中值定理或者

泰勒定理就可以得到积分中值定理甚至类似于泰勒定理的形式。因此看到有积分形式，并

且带有中值的证明题时，一定是对某个变上限积分在某点处展开为泰勒展开式或者直接使

用积分中值定理。当证明结论中仅有积分与被积函数本身时，一般使用积分中值定理;当

结论中有积分与被积函数的导数时，一般需要展开变上限积分为泰勒展开式。

考研数学概率部分复习的4个突破口

▶在文字叙述题上下功夫

考生一方面多做些题目，尤其是文字叙述的题目，逐渐提高自己分析问题的能力。另

一方面花点时间准确理解概率论与数理统计中的基本概念。考生在复习过程中可以结合一

些实际问题理解概念和公式，也可以通过做一些文字叙述题巩固概念和公式。只要针对每

一个基本概念准确的理解，公式理解的准确到位，并且多做些相关题目，再遇到考卷中碰

到类似题目时就一定能够轻易读懂和正确解答。

▶会用公式解题

概率论与数理统计中的公式不仅要记住，而且要会用，要会用这些公式分析实际中的

问题。我在这里推荐一个记忆公式的方法，就是结合实际的例子和模型记忆。比如二向概

率公式，你可以用这样一个模型记忆，把一枚硬币重复抛N次，正面朝上的概率是多少

呢?这样才是在理解基础上的记忆，记忆的东西既不容易忘，又能够正确运用到题目的解

决中。

▶对概率论与数理统计的考点整体把握

考研中，概率论的重点考查对象在于随机变量及其分布和随机变量的数字特征。所以

对于第一条中所讲的古典概型与几何概型这部分，只要掌握一些简单的概率计算就可，把

大量精力放在随机变量的分布上。数理统计的考查重点在于与抽样分布相关的统计量的分

布及其数字特征。

▶心理上要重视

考研数学试题中有关概率论与数理统计的题目对大多数考生来说有一定难度，这就使

得很多考完试的感慨万千，概率题太难了!同时也为学弟学妹们传达了概