多元函数的微分学.pptxVIP

多元函数的微分学汇报人：AA2024-01-25

contents目录多元函数的基本概念与性质偏导数与全微分多元复合函数的微分法多元函数的极值与最值方向导数与梯度多元函数微分学的应用

01多元函数的基本概念与性质

VS设$D$为一个非空的$n$元有序数组的集合，$f$为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组$(x_1,x_2,ldots,x_n)inD$，通过对应规则$f$，都有唯一确定的实数$y$与之对应，则称对应规则$f$为定义在$D$上的$n$元函数。多元函数的表示方法多元函数可以用解析式、表格或图像等方式表示。其中，解析式表示法是最常用的一种，通过给出函数的具体表达式来描述函数的性质。多元函数的定义多元函数的定义与表示方法

设函数$f(x_1,x_2,ldots,x_n)$在点$P_0(x_1^0,x_2^0,ldots,x_n^0)$的某一邻域内有定义。如果$lim_{(x_1,x_2,ldots,x_n)to(x_1^0,x_2^0,ldots,x_n^0)}f(x_1,x_2,ldots,x_n)=f(x_1^0,x_2^0,ldots,x_n^0)$，则称函数$f(x_1,x_2,ldots,x_n)$在点$P_0$处连续。多元函数连续性的定义多元函数的连续性具有一些重要性质，如局部有界性、局部保号性、四则运算性质等。这些性质在多元函数的微分学研究中具有重要意义。多元函数连续性的性质多元函数的连续性

设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某个邻域内有定义，如果函数在$(x_0,y_0)$处的全增量$Deltaz=f(x_0+Deltax,y_0+Deltay)-f(x_0,y_0)$可以表示为$Deltaz=ADeltax+BDeltay+o(rho)$，其中$A,B$不依赖于$Deltax,Deltay$而仅与$x_0,y_0$有关，$rho=sqrt{(Deltax)^2+(Deltay)^2}$，则称函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可微。多元函数的可微性具有一些重要性质，如可微必连续、连续不一定可微、可微函数的和差积仍可微等。这些性质在多元函数的微分学研究中具有重要意义，为后续的偏导数、全微分等概念的研究奠定了基础。多元函数可微性的定义多元函数可微性的性质多元函数的可微性

02偏导数与全微分

03偏导数的几何意义偏导数表示函数图像在指定点处沿某一坐标轴方向的切线斜率。01偏导数的定义偏导数是指多元函数在某一点处，对其中一个自变量求导而将其余自变量视为常数的导数。02偏导数的计算计算偏导数时，将其他自变量视为常数，对指定自变量应用一元函数的求导法则。偏导数的定义与计算

高阶偏导数的定义高阶偏导数是指对多元函数中的某个自变量多次求偏导数得到的导数。高阶偏导数的计算计算高阶偏导数时，需要按照求导顺序依次对各个自变量求偏导数。高阶偏导数的几何意义高阶偏导数表示函数图像在指定点处沿某一坐标轴方向的高阶切线性质。高阶偏导数030201

全微分的定义全微分是指多元函数在某一点处的全增量可以表示为各个自变量增量的线性组合，且线性组合的系数就是函数在该点的偏导数。全微分的计算计算全微分时，需要将多元函数在各点的偏导数求出，然后根据全微分的定义进行计算。全微分的几何意义全微分表示函数图像在指定点处的全增量与各个自变量增量之间的关系，可以用来近似计算函数在某一点附近的值。全微分的定义与计算

03多元复合函数的微分法

链式法则对于形如$z=f(u,v),u=g(x,y),v=h(x,y)$的复合函数，其求导法则为$frac{partialz}{partialx}=frac{partialz}{partialu}frac{partialu}{partialx}+frac{partialz}{partialv}frac{partialv}{partialx}$，$frac{partialz}{partialy}=frac{partialz}{partialu}frac{partialu}{partialy}+frac{partialz}{partialv}frac{partialv}{partialy}$。高阶导数复合函数的高阶导数可通过连续应用链式法则求得。复合函数的求导法则

隐函数的求导法则直接法将隐函数中的$y$表示为$x$的函数，然后直接对$x$求导。公式法对于形如$F(x,y)=0$的隐函数，其求导公式为$frac{dy}{dx}=-frac{F_x}{F_y}$，其中$F_x$和$