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多元函数微积分课件汇报人：AA2024-01-25

多元函数基本概念与性质多元函数微分学在几何中应用多元函数积分学基础多元函数微积分在实际问题中应用数值计算方法在多元函数微积分中应用总结回顾与拓展延伸目录

01多元函数基本概念与性质

VS设$D$为一个非空的$n$元有序数组的集合，$f$为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组$(x1,x2,…,xn)∈D$，通过对应规则$f$，都有唯一确定的实数$y$与之对应，则称对应规则$f$为定义在$D$上的$n$元函数。多元函数的表示方法多元函数可以用多种方式表示，如解析式、表格、图像等。其中，解析式表示法是最常用的一种，它用数学表达式明确地给出了因变量与自变量之间的关系。多元函数的定义多元函数定义及表示方法

多元函数的极限设函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数$epsilon$，总存在正数$delta$，使得当点$P(x,y)$满足$0sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}delta$时，都有$|f(x,y)-A|epsilon$成立，那么就称常数A为函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的极限，记作$lim_{(x,y)to(x_0,y_0)}f(x,y)=A$。多元函数的连续性设函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的某一邻域内有定义，如果$lim_{(x,y)to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，那么称函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$连续。多元函数极限与连续性

偏导数概念偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率。设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y_0$而$x$在$x_0$处有增量$Deltax$时，相应地函数有增量$Deltaz=f(x_0+Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)$。如果$lim_{Deltaxto0}frac{Deltaz}{Deltax}$存在，则称此极限为函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数，记作$frac{partialz}{partialx}|_{(x=x_0,y=y_0)}$或$f_x(x_0,y_0)$。全微分概念及计算全微分反映的是多元函数在某一点附近的全局变化特征。如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全增量$Deltaz=f(x+Deltax,y+Deltay)-f(x,y)$可以表示为$Deltaz=ADeltax+BDeltay+o(rho)$，其中A和B不依赖于$Deltax$和$Deltay$而仅与$(x,y)$有关，$rho=sqrt{(Deltax)^2+(Deltay)^2}$，那么称函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微，而A和B分别称为函数在该点处对$x$和$y$的偏导数，记作$frac{partialz}{partialx}$和$frac{partialz}{partialy}$。此时的全微分可以表示为$dz=frac{partialz}{partialx}dx+frac{partialz}{partialy}dy$。偏导数与全微分概念及计算

多元函数极值问题探讨

02多元函数微分学在几何中应用

空间曲线切线与法平面方程求解参数方程表示的空间曲线切线方程求解空间曲线法平面方程求解一般方程表示的空间曲线切线方程求解切线与法平面的几何意义与性质

空间曲面切平面与法线方程求解隐式方程表示的空间曲面切平面方程求解空间曲面法线方程求解显式方程表示的空间曲面切平面方程求解参数方程表示的空间曲面切平面方程求解切平面与法线的几何意义与性质向导数与梯度在几何中应用方向导数的定义与计算梯度的定义与计算方向导数与梯度的几何意义方向导数与梯度在几何优化问题中的应用

多元函数微分学在几何优化问题中应用条件极值问题多元函数微分学在几何优化问题中的其他应用多元函数的极值问题最小二乘法在几何优化问题中的应用

03多元函数积分学基础

123定义在平面区域上的二元函数关于两个自变量的积分。二重积分的概念线性性、可加性、保号性、绝对值不等式等。二重积分的性质化为累次积分进行计算，包括直角坐标和极坐标两种形式。二重积分的计算方法二重积分概念、性质及计算方法

三重积分的概念定义在空间区域上的三元函数关于三个自变量的积分。三重积分的性质与二重积分相似的性质，如线性性、可加性、保号性等。三重积分的计算方法化为累次积分进行计算，包括直角坐标、柱面坐标和球面坐标三种形式。三重积分概念、性质及计算