高阶偏导数与高阶全微分.pptxVIP

高阶偏导数与高阶全微分汇报人：AA2024-01-25

目录contents引言一元函数的高阶偏导数多元函数的高阶偏导数高阶全微分的定义与性质高阶偏导数与高阶全微分的应用总结与展望

01引言

偏导数与全微分的定义及性质偏导数定义：设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y_0$而$x$在$x_0$处有增量$\Deltax$时，相应地函数有增量$f(x_0+\Deltax,y_0)-f(x_0,y0)$。如果$\lim{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Deltax}$存在，则称此极限为函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y0)$处对$x$的偏导数，记作$\frac{\partialz}{\partialx}|{(x=x_0,y=y_0)}$或$f_x(x_0,y_0)$。全微分定义：如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全增量$\Deltaz=f(x+\Deltax,y+\Deltay)-f(x,y)$可以表示为$\Deltaz=A\Deltax+B\Deltay+o(\rho)$，其中$A$和$B$不依赖于$\Deltax$和$\Deltay$而仅与$x$和$y$有关，$\rho=\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}$，则称函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微，而$A\Deltax+B\Deltay$称为函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全微分，记作$dz$。偏导数与全微分的性质：包括线性性质、乘积法则、链式法则等。

如果二元函数$z=f(x,y)$的偏导数$frac{partialz}{partialx}=varphi(x,y)$仍然存在偏导数，则称$frac{partial^2z}{partialx^2}=frac{partial}{partialx}(frac{partialz}{partialx})=frac{partialvarphi}{partialx}$为函数$z=f(x,y)$的二阶偏导数。类似地，可以定义二阶以及更高阶的偏导数。如果函数$z=f(x,y)$的一阶全微分$dz=ADeltax+BDeltay$中的系数$A$和$B$仍然可微，则称二阶全微分为$d^2z=frac{partial^2z}{partialx^2}(Deltax)^2+2frac{partial^2z}{partialxpartialy}DeltaxDeltay+frac{partial^2z}{partialy^2}(Deltay)^2$。类似地，可以定义更高阶的全微分。高阶偏导数与高阶全微分具有与一阶偏导数和一阶全微分类似的性质，如线性性质、乘积法则、链式法则等。同时，高阶偏导数与高阶全微分在描述函数的局部性质和解决实际问题中也有广泛的应用。高阶偏导数定义高阶全微分定义高阶偏导数与高阶全微分的性质高阶偏导数与高阶全微分的概念

02一元函数的高阶偏导数

定义一元函数的二阶偏导数是指对一元函数先求一次偏导数，再对所得结果求一次偏导数的过程。几何意义一元函数的二阶偏导数表示函数图像在某点处的弯曲程度，即函数在该点的凹凸性。计算方法按照偏导数的定义和计算法则，依次对一元函数求两次偏导数即可得到二阶偏导数。一元函数的二阶偏导数

几何意义一元函数的三阶及更高阶偏导数表示函数图像在某点处的更高阶的弯曲程度，反映了函数的复杂性和变化率的变化情况。计算方法按照偏导数的定义和计算法则，依次对一元函数求多次偏导数即可得到三阶及更高阶偏导数。定义一元函数的三阶及更高阶偏导数是指对一元函数连续求多次（三次及以上）偏导数的过程。一元函数的三阶及更高阶偏导数

通过归纳法可以总结出高阶偏导数的计算通式，从而简化计算过程。归纳法对于复合函数的高阶偏导数，可以使用链式法则进行求解，将复合函数的偏导数转化为各基本函数的偏导数的组合。链式法则对于隐函数的高阶偏导数，可以使用隐函数求导法进行求解，通过对方程两边同时求高阶偏导数来得到隐函数的高阶偏导数。隐函数求导法高阶偏导数的计算方法

03多元函数的高阶偏导数

多元函数的二阶偏导数设函数$z=f(x,y)$的偏导数$f_x(x,y)$与$f_y(x,y)$仍然可导，则称它们的偏导数为函数$z=f(x,y)$的二阶偏导数。记法二阶偏导数有四个，分别是$f_{xx}(x,