多元函数的极限与连续、偏导数.pptxVIP

多元函数的极限与连续、偏导数汇报人：AA2024-01-24

目录多元函数基本概念多元函数极限多元函数连续性偏导数概念与计算多元函数微分学应用总结与回顾

01多元函数基本概念

0102多元函数定义多元函数的一般形式为$z=f(x,y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量，$f$是对应法则。多元函数是指自变量有两个或两个以上的函数，其因变量由一个或多个自变量的变化所决定。

解析法用含有两个或两个以上自变量的解析式来表示多元函数的方法。表格法列出多元函数自变量和因变量的对应数值表来表示多元函数的方法。图示法在平面直角坐标系中，用曲线、曲面或点来表示多元函数的方法。多元函数表示方法

单调性多元函数在某个区间内是否单调增加或减少。有界性多元函数在其定义域内是否有界。周期性多元函数是否具有周期性，即是否存在一个正数$T$，使得对于定义域内的任意$x$和$y$，都有$f(x+T,y)=f(x,y)$。可微性多元函数在其定义域内是否可微，即是否存在全微分。连续性多元函数在其定义域内是否连续，即当自变量的变化很小时，因变量的变化也很小。多元函数性质

02多元函数极限

设函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的某去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意给定的正数$\epsilon$，总存在正数$\delta$，使得当点$P(x,y)$满足$0\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\delta$时，都有$|f(x,y)-A|\epsilon$成立，则称A为函数$f(x,y)$当$(x,y)\to(x_0,y0)$时的极限，记作$\lim{{(x,y)}\to{(x_0,y_0)}}f(x,y)=A$。多元函数极限定义

多元函数极限性质有界性若$lim_{{(x,y)}to{(x_0,y_0)}}f(x,y)=A$，则存在点$P_0$的某去心邻域，使得函数$f(x,y)$在该邻域内有界。唯一性若$lim_{{(x,y)}to{(x_0,y_0)}}f(x,y)=A$且$lim_{{(x,y)}to{(x_0,y_0)}}f(x,y)=B$，则$A=B$。保号性若$lim_{{(x,y)}to{(x_0,y_0)}}f(x,y)=A0$（或$A0$），则存在点$P_0$的某去心邻域，使得在该邻域内恒有$f(x,y)0$（或$f(x,y)0$）。

直接代入法若函数在点$P_0(x_0,y_0)$处连续，则$lim_{{(x,y)}to{(x_0,y_0)}}f(x,y)=f(x_0,y_0)$。消去零因子法通过分子分母同时除以某个零因子，从而消去零因子，简化计算。利用无穷小性质利用等价无穷小、高阶无穷小等性质进行替换和简化计算。利用极坐标变换在某些情况下，通过极坐标变换可以简化多元函数极限的计算。多元函数极限计算

03多元函数连续性

设函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的某一邻域内有定义，如果$lim_{(x,y)to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，则称函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$处连续。连续性的定义多元函数在一点连续，则该点的函数值等于该点的极限值；多元函数在一点连续，则在该点的某一邻域内函数有界；多元函数在一点连续，则在该点的某一邻域内函数可积。连续性的性质连续概念及性质

连续条件对于二元函数$f(x,y)$，若其在点$P_0(x_0,y_0)$处连续，需要满足$lim_{Deltaxto0}lim_{Deltayto0}f(x_0+Deltax,y_0+Deltay)=f(x_0,y_0)$。判断方法通过计算函数在某一点处的极限值，并与该点的函数值进行比较，若相等则函数在该点连续；或者通过证明函数在某一点处的偏导数存在且连续，从而证明函数在该点连续。连续条件与判断方法

四则运算规则若多元函数$u(x,y)$和$v(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$处连续，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点$P_0(x_0,y_0)$处也连续。复合运算规则若多元函数$u(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$处连续，且另一元函数$varphi(t)$在$u(x_0,y_0)$处连续，则复合函数$varphi[u(x,y)]$在点$P_0(x_0,y_0)$处也连续。初等函数连续性一切初等函数在其定义域内都是连续的。连续函数运算规则

04偏导数概念与计算

偏导数定义设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y_0$而$x$在$x_0$处有增量$Deltax$时，相应地函数有增量$f(x_0+Deltax,y_