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多元函数汇报人：AA2024-01-26

contents目录多元函数基本概念多元函数偏导数与全微分多元函数极值与最值多元函数在几何上应用多元函数在经济学中应用多元函数在物理学中应用

多元函数基本概念01CATALOGUE

定义与性质定义设D为一个非空的n元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组(x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。性质多元函数具有一些与一元函数类似的性质，如连续性、可微性、可积性等。同时，多元函数也有一些独特的性质，如方向导数、梯度等。

多元函数是一元函数的推广，当n=1时，多元函数即为一元函数。同时，多元函数的很多概念和性质都可以在一元函数中找到类似之处。联系多元函数的自变量有多个，因此其定义域和值域都比一元函数复杂。此外，多元函数的图像是超曲面，而一元函数的图像是平面曲线。在求导和积分等方面，多元函数也比一元函数更加复杂。区别多元函数与一元函数关系

解析法用含自变量的数学表达式来表示多元函数的方法。例如，z=f(x,y)表示一个二元函数。表格法列出所有自变量的组合及对应的函数值来表示多元函数的方法。这种方法适用于自变量较少且取值范围较小的情况。图示法用图形来表示多元函数的方法。对于二元函数，可以用三维空间的曲面来表示；对于三元及以上的函数，可以用高维空间的超曲面来表示。图示法可以直观地展示函数的形状和变化趋势，但难以精确表达函数的数值关系。多元函数表示方法

多元函数偏导数与全微分02CATALOGUE

偏导数定义设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y_0$而$x$在$x_0$处有增量$Deltax$时，相应地函数有增量$f(x_0+Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)$。如果$lim_{Deltaxto0}frac{f(x_0+Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)}{Deltax}$存在，则称此极限为函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数，记作$frac{partialz}{partialx}|_{(x=x_0,y=y_0)}$或$f_x(x_0,y_0)$。偏导数计算偏导数的计算通常使用求导法则和链式法则。对于复合函数，需要使用链式法则逐层求导。对于隐函数，可以通过对方程两边同时求偏导数来求解。偏导数定义及计算

高阶偏导数如果二元函数$z=f(x,y)$的偏导数$frac{partialz}{partialx}=varphi(x,y)$仍然存在偏导数，则称$frac{partial^2z}{partialx^2}=frac{partial}{partialx}(frac{partialz}{partialx})=frac{partialvarphi}{partialx}$为函数$z=f(x,y)$的二阶偏导数。类似地，可以定义二阶及更高阶的偏导数。高阶偏导数定义高阶偏导数的计算与一阶偏导数的计算类似，只是需要多次应用求导法则和链式法则。需要注意的是，高阶偏导数的计算顺序可能会影响结果，即$frac{partial^2z}{partialxpartialy}$和$frac{partial^2z}{partialypartialx}$可能不相等。高阶偏导数的计算

VS设函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全增量$Deltaz=f(x+Deltax,y+Deltay)-f(x,y)$可以表示为$Deltaz=ADeltax+BDeltay+o(rho)$，其中$A$和$B$不依赖于$Deltax$和$Deltay$而仅与$x$和$y$有关，$rho=sqrt{(Deltax)^2+(Deltay)^2}$，则称函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$可微分，而$ADeltax+BDeltay$称为函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全微分，记作$dz$。全微分的计算全微分的计算通常使用全微分公式，即$dz=frac{partialz}{partialx}dx+frac{partialz}{partialy}dy$。在实际应用中，需要根据具体的问题选择合适的自变量和因变量，并应用相应的求导法则和链式法则进行计算。全微分概念全微分概念及计算

多元函数极值与最值03CATALOGUE

通过求解多元函数的一阶偏导数，并令其等于零，得到可能的极值点。然后利用二阶偏导数判断极