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多元函数微积分学汇报人：AA2024-01-24

多元函数基本概念与性质多元函数微分学应用重积分概念、性质及计算曲线积分与曲面积分无穷级数在多元函数微积分中应用目录

01多元函数基本概念与性质

多元函数定义设$D$为一个非空的$n$元有序数组的集合，$f$为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组$(x1,x2,…,xn)∈D$，通过对应规则$f$，都有唯一确定的实数$y$与之对应，则称对应规则$f$为定义在$D$上的$n$元函数。多元函数表示方法多元函数通常用符号$f(x1,x2,…,xn)$或$z=f(x1,x2,…,xn)$表示。其中，$x1,x2,…,xn$是自变量，$z$是因变量。多元函数定义及表示方法

多元函数极限设函数$f(x1,x2,…,xn)$在点$P0(x10,x20,…,xn0)$的某去心邻域内有定义。如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$epsilon$，总存在正数$delta$，使得当点$P(x1,x2,…,xn)$满足$0|(x1-x10)2+(x2-x20)2+…+(xn-xn0)2|delta$时，都有$|f(x1,x2,…,xn)-A|epsilon$成立，则称常数$A$为函数$f(x1,x2,…,xn)$当$(x1,x2,…,xn)→(x10,x20,…,xn0)$时的极限。要点一要点二多元函数连续性如果函数$f(x1,x2,…,xn)$在点$P0(x10,x20,…,xn0)$处的极限值等于该点的函数值，即$lim_{(x1,x2,…,xn)to(x10,x20,…,xn0)}f(x1,x2,…,xn)=f(x10,x20,…,xn0)$，则称函数在该点连续。多元函数极限与连续性

偏导数设函数$z=f(x,y)$在点$(x0,y0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y0$而$x$在$x0$处有增量$Deltax$时，相应地函数有增量$Deltaz=f(x0+Deltax,y0)-f(x0,y0)$。如果$Deltaz$与$Deltax$之比当$Deltax→0$时的极限存在，则称此极限为函数在点$(x0,y0)$处对$x$的偏导数。全微分如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全增量$Deltaz=f(x+Deltax,y+Deltay)-f(x,y)$可以表示为$Deltaz=ADeltax+BDeltay+o(rho)$，其中$A,B$不依赖于$Deltax,Deltay$而仅与$x,y$有关，$rho=(Deltax)^2+(Deltay)^2)^{1/2}$，则称函数在该点可微，并称线性主部$ADeltax+BDeltay$为函数在点$(x,y)$处的全微分。偏导数与全微分概念及计算

多元函数极值设函数$z=f(x,y)$在点$(x0,y0)$的某邻域内有定义。如果对于该邻域内异于$(x0,y0)$的任一点$(x,y)$，都有不等式$f(x,y)f(x0,y0)（或f(x,y)f(x0,y0)）$成立，则称函数在点$(x0,y0)$处有极大值（或极小值）。多元函数最值设函数$z=f(x,y)$在闭区域D上有定义。如果存在点$(x0,y0)∈D$，使得对于D上任意一点$(x,y)$都有不等式$f(x,y)≤f(x0,y0)（或f(x,y)≥f(x0,y0)）成立，则称函数在D上有最大值（或最小值）。多元函数极值与最值问题

02多元函数微分学应用

03空间曲线法平面方程求解根据切向量与法向量的关系，求得法向量后利用点法式方程求解法平面方程。01参数方程表示的空间曲线切线方程求解通过求导得到切向量，利用点向式方程求解切线方程。02一般方程表示的空间曲线切线方程求解转化为参数方程或利用隐函数求导法则得到切向量，进而求解切线方程。空间曲线切线与法平面方程求解

显式方程表示的空间曲面切平面方程求解对曲面方程求偏导得到切平面法向量，利用点法式方程求解切平面方程。隐式方程表示的空间曲面切平面方程求解利用隐函数求导法则得到切平面法向量，进而求解切平面方程。空间曲面法线方程求解根据切平面法向量与法线向量的关系，求得法线向量后利用点向式方程求解法线方程。空间曲面切平面与法线方程求解

方向导数与梯度在实际问题中应用通过计算目标函数的梯度可以确定函数值增加最快的方向，进而实现优化问题的求解。方向导数与梯度在优化问题中的应用通过计算方向导数可以确定物理量在某一方向上的变化率。方向导数在温度场、浓度场等物理场中的应用梯度表示物理量在空间中的分布情况和变化趋势，可用于求解力、电场强度等矢量场。梯度在力学、电磁学等领域的应用

边际分析与弹性分析利用多元函数微分学中的偏导数概念，可以计算经济学中的边际效应和弹性系数，为经济决策提供量化依据。最优化问题