幂函数、指数函数与对数函数 学生版-2024年高中数学竞赛讲义.pdfVIP

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一、指数函数及其性质

xx

形如y=a(a0,a≠1)的函数叫作指数函数，其定义域为R，值域为(0,+∞)．当0a1时，y=a是

x

减函数，当a1时，y=a为增函数，它的图像恒过定点(0,1)．

二、分数指数幂1mm

nnnnm-n1-n1

a=a,a=a,a=,a=

nnm

三、对数函数及其性质aa

对数函数y=logx(a0,a≠1)的定义域为(0,+∞)，值域为R，图像过定点(1,0)．它是指数函数y=ax

a

(a0,a≠1)的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出．当0a1时，y=logx为减函数，当a

a

1时，y=logx为增函数．

四、对数的运算性质a(M0,N0)

M

(1)alog=M(这是定义)；

a

M

(2)log(MN)=log+logN；

aaa

M

(3)log=logM-logN；

aaa

N

n

(4)logM=nlogM；

aa

logbc

(5)logb=(a,b,c0,a,c≠1)(换底公式)．

alogac

由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论：

nn1

m

1)logb=logb；2)logb=．

amaalogab

典型例题剖析x

1已知x是方程x+lgx=10的根，x是方程x+10=10的根，求x+x的值．

1212

b

2已知a0，b0，loga=logb=log(a+b)，求的值．

91216

a