二元函数的极值.pptxVIP

二元函数的极值汇报人：AA2024-01-26

contents目录引言二元函数的性质二元函数的极值条件二元函数极值的求解方法二元函数极值的应用举例总结与展望

引言01

二元函数的定义二元函数是指定义域为二维平面上的点集，值域为一维实数集的函数，通常表示为$z=f(x,y)$。二元函数的定义需要明确函数的对应关系，即对于定义域内的任意一点$(x,y)$，有唯一确定的函数值$z$与之对应。

极值的概念01极值是指在函数定义域的某个局部区域内，函数值达到最大或最小值的点。02对于二元函数而言，极值点可以是函数图像上的某个峰顶、谷底或者鞍点。极值分为极大值和极小值，分别对应函数在该点附近取得的最大值和最小值。03

010203研究二元函数的极值有助于了解函数的性质和行为，为实际应用提供理论支持。在许多领域，如经济学、工程学、物理学等，二元函数的极值问题具有重要的实际意义。通过求解二元函数的极值，可以找到函数的最优解或近似最优解，为决策和优化提供依据。研究目的和意义

二元函数的性质02

123如果函数在某点的极限值等于该点的函数值，则称函数在该点连续。二元函数在某点连续的定义连续函数具有局部有界性、局部保号性、四则运算性质等。连续函数的性质连续函数的图形是一条连续的曲线，没有间断点。连续函数的图形特征连续性

如果函数在某点的全增量可以表示为两个自变量的偏增量的线性组合，且线性组合的系数是常数，则称函数在该点可微。二元函数在某点可微的定义可微函数必定连续，且偏导数存在。可微函数的性质可微函数的图形在局部范围内可以用平面来近似代替。可微函数的图形特征可微性

偏导数的定义偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率。对于二元函数z=f(x,y)，它在点(x0,y0)处对x的偏导数记为fx(x0,y0)或?z/?x|(x0,y0)，对y的偏导数记为fy(x0,y0)或?z/?y|(x0,y0)。偏导数的求法求二元函数的偏导数，实际上就是将其中一个自变量视为常数，对另一个自变量求导数。偏导数的几何意义偏导数fx(x0,y0)表示固定y=y0时，曲线z=f(x,y0)在点M(x0,y0,f(x0,y0))处的切线对x轴的斜率；偏导数fy(x0,y0)表示固定x=x0时，曲线z=f(x0,y)在点M(x0,y0,f(x0,y0))处的切线对y轴的斜率。偏导数

二元函数的极值条件03

函数在极值点处的一阶偏导数必须存在。函数在极值点处的一阶偏导数必须为零。即，如果函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处取得极值，则必有$f_x(x_0,y_0)=0$和$f_y(x_0,y_0)=0$。一阶必要条件

如果函数在点$(x_0,y_0)$处的二阶偏导数$f_{xx}(x_0,y_0)$、$f_{yy}(x_0,y_0)$和$f_{xy}(x_0,y_0)$存在，并且$f_{xx}(x_0,y_0)0$，$f_{yy}(x_0,y_0)0$，以及$f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-[f_{xy}(x_0,y_0)]^20$，则函数在该点取得极小值。如果函数在点$(x_0,y_0)$处的二阶偏导数$f_{xx}(x_0,y_0)$、$f_{yy}(x_0,y_0)$和$f_{xy}(x_0,y_0)$存在，并且$f_{xx}(x_0,y_0)0$，$f_{yy}(x_0,y_0)0$，以及$f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-[f_{xy}(x_0,y_0)]^20$，则函数在该点取得极大值。二阶充分条件

极值的判定方法01通过求解一阶偏导数并令其等于零，找到可能的极值点。02利用二阶偏导数进行充分性检验，判断极值点的性质（极大值、极小值或鞍点）。03结合函数的图像和性质，以及实际问题背景进行综合分析，确定极值点的存在性和具体位置。

二元函数极值的求解方法04

偏导数定义01偏导数反映了函数沿某一坐标轴方向的变化率。对于二元函数$z=f(x,y)$，其在点$(x_0,y_0)$处的偏导数分别为$f_x(x_0,y_0)$和$f_y(x_0,y_0)$。极值条件02若$(x_0,y_0)$为函数$f(x,y)$的极值点，则必有$f_x(x_0,y_0)=0$且$f_y(x_0,y_0)=0$。判别法03在满足偏导数等于零的条件下，还需进一步判断二阶偏导数的符号来确定极值点的性质（极大值、极小值或鞍点）。偏导数法

对于带有约束条件$g(x,y)=0$的二元函