二元函数微积分——偏导数和全微分.pptxVIP

二元函数微积分——偏导数和全微分汇报人：AA2024-01-26

目录引言二元函数的偏导数二元函数的全微分偏导数与全微分的关系二元函数微积分的应用总结与展望

01引言

0102二元函数的概念二元函数可以描述各种实际问题，如物理中的势场、经济学中的效用函数等。二元函数是指定义域为二维平面上的点集，值域为一维实数集的函数，通常表示为$z=f(x,y)$。

偏导数是指多元函数中，当其他自变量保持不变时，某一自变量变化所引起的函数值的变化率。对于二元函数$z=f(x,y)$，其偏导数记为$frac{partialz}{partialx}$和$frac{partialz}{partialy}$。全微分是指多元函数在某一点的全增量可以表示为各自变量在该点的偏导数与各自变量增量的乘积之和的形式。对于二元函数$z=f(x,y)$，其全微分表示为$dz=frac{partialz}{partialx}dx+frac{partialz}{partialy}dy$。偏导数和全微分的定义

偏导数和全微分是微积分学中的重要概念，它们可以描述二元函数在某一点附近的变化情况，为实际问题提供数学模型和解决方法。偏导数和全微分在物理学、经济学、工程学等领域有广泛的应用，如最小二乘法、梯度下降法、牛顿法等优化算法都涉及到偏导数和全微分的计算。通过研究二元函数的偏导数和全微分，可以了解函数的性质、极值、最值等问题，为优化问题提供理论支持。研究目的和意义

02二元函数的偏导数

偏导数定义设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y_0$而$x$在$x_0$处有增量$Deltax$时，相应地函数有增量$f(x_0+Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)$。如果$lim_{Deltaxto0}frac{f(x_0+Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)}{Deltax}$存在，则称此极限为函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数，记作$frac{partialz}{partialx}|_{(x=x_0,y=y_0)}$，或$frac{partialf}{partialx}|_{(x=x_0,y=y_0)}$。偏导数存在的条件函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数存在的充分必要条件是函数$f(x,y_0)$在$x=x_0$处可导。偏导数的定义

一阶偏导数的计算根据偏导数的定义，可以直接对函数中的某一自变量求导，而将其余自变量视为常数。例如，对于函数$z=f(x,y)$，其对$x$的一阶偏导数为$frac{partialz}{partialx}=frac{partialf}{partialx}$。高阶偏导数的计算高阶偏导数是对已经求过一阶偏导数的函数再次求偏导数。例如，对于函数$z=f(x,y)$，其对$x$的二阶偏导数为$frac{partial^2z}{partialx^2}=frac{partial}{partialx}(frac{partialz}{partialx})$。偏导数的计算

在二元函数中，偏导数$frac{partialz}{partialx}$表示函数图像在点$(x_0,y_0,z_0)$处沿$x$轴方向的切线斜率。同样地，$frac{partialz}{partialy}$表示沿$y$轴方向的切线斜率。切线斜率偏导数还可以表示函数在某一点沿特定方向的变化率。这个特定方向可以是与坐标轴平行的方向，也可以是任意方向。方向导数在多元函数的极值问题和最优化问题中有重要应用。方向导数偏导数的几何意义

03二元函数的全微分

全微分是二元函数在两个自变量方向上的微小变化引起的函数值的微小变化。如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全增量$Deltaz$可以表示为$Deltaz=ADeltax+BDeltay+o(rho)$，其中$A$和$B$不依赖于$Deltax$和$Deltay$，而仅与$x$和$y$有关，$rho=sqrt{(Deltax)^2+(Deltay)^2}$，那么称函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微，而$ADeltax+BDeltay$称为函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全微分，记作$dz$。全微分的定义

全微分的计算计算全微分需要先求出函数对各个自变量的偏导数，然后将偏导数乘以对应自变量的微分，最后将各项相加。具体来说，如果函数$z=f(x,y)$在点