高考数学一轮总复习2.13定积分与微积分基本定理.pptxVIP

$number{01}高考数学一轮总复习2.13定积分与微积分基本定理2024-01-25汇报人：AA

目录引言定积分基本概念与性质微积分基本定理及其应用不定积分计算方法与技巧定积分在几何和物理中的应用复习策略与应试技巧

01引言

02理解微积分基本定理，能够运用定理进行积分计算03了解定积分在几何、物理等方面的应用01掌握定积分的概念、性质及计算方法04提高分析问题和解决问题的能力复习目的与要求

定积分的概念与性质微积分基本定理定积分的计算知识体系概述包括定积分的定义、可积条件、定积分的性质等包括换元法、分部积分法等包括牛顿-莱布尼兹公式、变上限积分等

02定积分基本概念与性质

定积分的定义设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有界，且$a=x_0x_1...x_{n-1}x_n=b$，将$[a,b]$任意分割为$n$个小区间，每个小区间的长度记为$Deltax_i=x_i-x_{i-1}$，在每个小区间上任取一点$xi_i$，作和式$S_n=sum_{i=1}^{n}f(xi_i)Deltax_i$，若当$lambda=max{Deltax_1,Deltax_2,...,Deltax_n}to0$时，和式$S_n$的极限存在，则称此极限为函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，记作$int_{a}^{b}f(x)dx$。要点一要点二定积分的几何意义定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$的几何意义是曲线$y=f(x)$与直线$x=a,x=b$及$x$轴所围成的平面图形的面积。当$f(x)geq0$时，定积分的值等于该平面图形的面积；当$f(x)leq0$时，定积分的值等于该平面图形面积的负值。定积分的定义及几何意义

线性性质区间可加性保号性绝对值不等式定积分的性质若在区间$[a,b]$上，$f(x)leqg(x)$，则$int_{a}^{b}f(x)dxleqint_{a}^{b}g(x)dx$。对于任意函数$f(x)$，有$left|int_{a}^{b}f(x)dxright|leqint_{a}^{b}|f(x)|dx$。对于任意常数$k_1,k_2$和函数$f(x),g(x)$，有$int_{a}^{b}[k_1f(x)+k_2g(x)]dx=k_1int_{a}^{b}f(x)dx+k_2int_{a}^{b}g(x)dx$。若$acb$，则$int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a}^{c}f(x)dx+int_{c}^{b}f(x)dx$。

函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可积的充分必要条件是，对于任意$epsilon0$，总存在一种分割方式，使得在该分割下所作的达布上和与达布下和的差小于$epsilon$。可积条件若函数$f(x)$在区间$[a,c]$和$[c,b]$上都可积，则函数$f(x)$在区间$[a,b]$上也可积，且$int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a}^{c}f(x)dx+int_{c}^{b}f(x)dx$。这一性质称为积分区间可加性。积分区间可加性可积条件与积分区间可加性

03微积分基本定理及其应用

123牛顿-莱布尼兹公式几何意义牛顿-莱布尼兹公式表示的是曲线y=f(x)与直线x=a,x=b及x轴所围成的面积等于原函数在区间[a,b]上的增量。定义牛顿-莱布尼兹公式是连接定积分与原函数的重要公式，它将定积分的计算转化为求原函数在积分区间端点处的函数值之差。表达式∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数。

第三步第一步第二步微积分基本定理的推导过程通过举例和证明，说明微积分基本定理的正确性和实用性。引入变上限的定积分，并证明其可导性。利用可导性，求出变上限定积分的导数，得到微积分基本定理的公式。

计算定积分通过找到被积函数的原函数，利用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的值。证明等式或不等式通过构造函数并利用微积分基本定理，可以证明一些与定积分相关的等式或不等式。解决实际问题微积分基本定理可以应用于解决一些实际问题，如计算曲线长度、旋转体体积等。微积分基本定理的应用举例030201

04不定积分计算方法与技巧

0302观察被积函数，寻找可以凑成微分的部分。01第一类换元法（凑微分法）举例：∫cos(x)dx=∫d(sin(x))=sin(x)+C。通过凑微分，将原积分转化为易于求解的新积分。

选择适当的代换变量，简化被积函数。举例：∫√(a^2-x^2)dx(x=a*sin(t))=∫a^2*cos^2(t)dt=(a^2/2)∫(1+cos(2t))dt=(a^2/2)(t+(1/2)sin(2t))+C。通过变量代换，将原积分转化为新变