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定积分定义

汇报人：AA

2024-01-25

引言

定积分的定义

定积分的计算

定积分的应用

定积分的数值计算

定积分的拓展

contents

目

录

01

引言

定积分在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。

01

通过定积分，我们可以计算物体的质量、质心、转动惯量等物理量。

02

在工程学中，定积分可用于计算曲线长度、曲面面积、体积等。

03

在经济学中，定积分可用于计算总收益、总成本等经济指标。

04

此外，定积分还是微分方程求解的基础，为解决实际问题提供了有力的数学工具。

05

02

定积分的定义

将积分区间[a,b]任意划分成n个子区间，每个子区间的长度记为Δxi。

划分定义域

在每个子区间内任意选取一点ξi作为该区间的代表。

选取样本点

计算所有子区间上函数值f(ξi)与对应子区间长度Δxi的乘积之和，即∑f(ξi)Δxi。

求和

当子区间划分越来越细，即n→∞时，上述求和的极限即为定积分的结果，记作∫abf(x)dx。

取极限

若F(x)是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则f(x)是F(x)的导函数。

根据微积分基本定理，定积分∫abf(x)dx等于原函数在区间端点的函数值之差，即F(b)−F(a)。

牛顿-莱布尼兹公式

原函数与导函数关系

线性性质

定积分具有线性性，即对于任意常数a、b以及函数f(x)、g(x)，有∫ab[af(x)+bg(x)]dx=a∫abf(x)dx+b∫abg(x)dx。

区间可加性

若c是[a,b]之间的一个数，则∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx。

保号性

若在区间[a,b]上f(x)≥0，则∫abf(x)dx≥0；若f(x)≤0，则∫abf(x)dx≤0。

绝对值不等式

对于任意函数f(x)，有|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

03

定积分的计算

1

基本积分公式

对于常见的函数如多项式、三角函数、指数函数等，有对应的基本积分公式。

积分常数法则

∫kdx=kx+C(k是常数)。

积分加法法则

∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx。

积分乘法法则

∫udv=uv−∫vdu(通过部分积分可得)。

通过变量代换简化被积函数或积分区间。

基本思想

选择合适的代换变量，将原积分转化为更易求解的新积分。

方法

三角函数代换、根式代换、倒代换等。

常见代换

公式

∫udv=uv−∫vdu。

应用

适用于被积函数是两个不同类型函数的乘积的情况，如多项式与三角函数、多项式与指数函数等。

选择因子

通常选择容易积分的函数作为dv，而将另一部分作为u。

基本思想

将两个函数的乘积的积分转化为两个较简单的函数的积分的差。

04

定积分的应用

通过定积分可以计算由平面图形绕某一直线旋转一周所形成的旋转体的体积。

旋转体体积

对于截面面积已知的立体，可以通过定积分计算其体积。

截面面积已知的立体体积

利用定积分可以计算平面曲线的弧长，如圆、椭圆、抛物线等。

平面曲线弧长

对于空间曲线，可以通过将其投影到某一平面上，然后利用定积分计算投影曲线的弧长，从而得到空间曲线的弧长。

空间曲线弧长

05

定积分的数值计算

将积分区间划分为若干等宽的小区间，每个小区间上的函数值用该区间左端点或右端点的函数值近似代替，然后求和得到定积分的近似值。

定义

计算简单，易于理解。

优点

精度较低，当函数在积分区间内波动较大时，误差较大。

缺点

定义

将积分区间划分为若干等宽的小区间，每个小区间上的函数值用该区间两个端点的函数值的平均值近似代替，然后求和得到定积分的近似值。

优点

相对于矩形法，精度有所提高。

缺点

当函数在积分区间内波动较大时，误差仍然较大。

定义

将积分区间划分为若干等宽的小区间，每个小区间上的函数值用该区间中点的函数值和两个端点的函数值的加权平均近似代替，然后求和得到定积分的近似值。其中权值根据辛普森公式确定。

优点

相对于矩形法和梯形法，精度更高。特别地，当函数在积分区间内可以表示为低次多项式时，辛普森法具有更高的精度。

缺点

计算相对复杂，需要计算更多的函数值。同时，当函数在积分区间内波动较大或存在奇异点时，误差可能仍然较大。

06

定积分的拓展

无穷区间上的广义积分

函数在无穷区间上的积分，通过取极限的方式定义为广义积分。

无界函数的广义积分

对于在有限区间上无界的函数，通过取极限的方式定义为广义积分。

含参变量的常义积分

被积函数中含有参变量，且积分限为常数的定积分。

要点一

要点二

含参变量的广义积分

被积函数中含有参变量，且积分限为无穷或函数无界的广义积分。

二重积分

在平面区域上的二重积分，表示以该区域为底，以被积函数为顶面的柱体体积。

三重积分

在空间区域上的三重积分，表示以该区域为底，以被积函数为顶