定积分与微积分基本定理课件.pptxVIP

§44定积分与微积分基本定理课件汇报人：AA2024-01-25BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA

目录CONTENTS定积分概念与性质微积分基本定理定积分计算方法定积分在几何和物理中应用数值计算方法在定积分中应用误差分析与收敛性判断

BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA01定积分概念与性质

VS设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有界，且$a=x_0x_1cdotsx_{n-1}x_n=b$是$[a,b]$的一个分划，$Deltax_i=x_i-x_{i-1}$，$lambda=max{Deltax_1,Deltax_2,cdots,Deltax_n}$，若存在极限$lim_{lambdato0}sum_{i=1}^{n}f(xi_i)Deltax_i=J$，则称$f(x)$在$[a,b]$上可积，且$J$为$f(x)$在$[a,b]$上的定积分，记为$int_{a}^{b}f(x)dx$。定积分的几何意义定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$的几何意义是曲线$y=f(x)$与直线$x=a$，$x=b$及$x$轴所围成的平面图形的面积。当$f(x)geq0$时，该面积在$x$轴上方；当$f(x)leq0$时，该面积在$x$轴下方。定积分的定义定积分定义及几何意义

定积分性质线性性质对于任意常数$k_1$和$k_2$，有$int_{a}^{b}[k_1f(x)+k_2g(x)]dx=k_1int_{a}^{b}f(x)dx+k_2int_{a}^{b}g(x)dx$。区间可加性若$cin[a,b]$，则$int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a}^{c}f(x)dx+int_{c}^{b}f(x)dx$。保号性若在$[a,b]$上，$f(x)geq0$，则$int_{a}^{b}f(x)dxgeq0$；若在$[a,b]$上，$f(x)leqg(x)$，则$int_{a}^{b}f(x)dxleqint_{a}^{b}g(x)dx$。绝对值不等式对于任意函数$f(x)$，有$left|int_{a}^{b}f(x)dxright|leqint_{a}^{b}|f(x)|dx$。

可积条件函数$f(x)$在$[a,b]$上可积的充分必要条件是：对于任意$epsilon0$，总存在$[a,b]$的一个分划，使得在该分划下，$sum_{i=1}^{n}omega_iDeltax_iepsilon$，其中$omega_i=sup{f(x):xin[x_{i-1},x_i]}-inf{f(x):xin[x_{i-1},x_i]}$。积分区间可加性若函数$f(x)$在$[a,c]$和$[c,b]$上都可积，则$f(x)$在$[a,b]$上也可积，且$int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a}^{c}f(x)dx+int_{c}^{b}f(x)dx$。这一性质称为定积分的区间可加性。可积条件与积分区间可加性

BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA02微积分基本定理

原函数与不定积分关系原函数定义若函数$F(x)$的导数等于$f(x)$，则称$F(x)$为$f(x)$的原函数。不定积分定义函数$f(x)$的所有原函数称为$f(x)$的不定积分，记作$intf(x)dx=F(x)+C$，其中$C$为任意常数。原函数与不定积分关系不定积分是求原函数的过程，原函数是不定积分的解。通过不定积分，我们可以找到函数的原函数，从而进一步研究函数的性质。

010405060302微积分基本定理内容：如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且存在原函数$F(x)$，则$int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$。证明过程1.由原函数的定义可知，$F(x)=f(x)$。2.对等式两边在区间$[a,b]$上求定积分，得到$int_{a}^{b}F(x)dx=int_{a}^{b}f(x)dx$。3.根据定积分的性质，$int_{a}^{b}F(x)dx=F(b)-F(a)$。4.综合以上步骤，可得$int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$。微积分基本定理内容及证明

010405060302例题1：求$int_{0}^{1}(2x+1)dx$。解：首先找到被积函数$2x+1$的原函数，即$int(2x+1)dx=x^{2}+x+C$。然后应用微积分基本定理，计算定积分$int_{0}^{1}(2x+1)dx=(x^{2}+x)|_{0}^{1}=1^{2}