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《微积分》第一篇--函数汇报人：AA2024-01-24

函数概念与性质极限与连续导数与微分微分中值定理与导数应用不定积分与定积分微分方程初步目录

01函数概念与性质

函数定义设$x$和$y$是两个变量，$D$是实数集的某个子集，若对于$D$中的每一个$x$值，按照某种对应法则$f$，总有唯一确定的$y$值与它对应，则称$y$是$x$的函数，记作$y=f(x)$，其中$x$称为自变量，$y$称为因变量，$D$称为函数的定义域。函数表示方法函数的表示方法主要有三种，分别是解析法、表格法和图象法。其中解析法是用数学表达式来表示函数关系；表格法是用表格来表示函数关系；图象法是用图象来表示函数关系。函数定义及表示方法

函数性质与分类函数性质函数的基本性质包括有界性、单调性、奇偶性、周期性等。这些性质反映了函数在不同区间上的变化趋势和对称性等特点。函数分类根据函数的性质和特点，可以将函数分为多种类型，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。这些函数在微积分学中有着广泛的应用。

一次函数一次函数的一般形式为$y=kx+b$，其中$k$和$b$为常数，且$kneq0$。一次函数的图象是一条直线，具有线性增长的特性。对数函数对数函数的一般形式为$y=log_ax$，其中$a0$且$aneq1$。对数函数的图象是一条从原点出发的曲线，具有缓慢增长或衰减的特性。二次函数二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$为常数，且$aneq0$。二次函数的图象是一条抛物线，具有对称性和极值点等特性。三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。它们的图象是周期性的波形曲线，具有周期性和振幅等特性。指数函数指数函数的一般形式为$y=a^x$，其中$a0$且$aneq1$。指数函数的图象是一条从原点出发的射线，具有快速增长或衰减的特性。反三角函数反三角函数是三角函数的反函数，包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。它们的图象是三角函数图象的反函数图象，具有相应的性质和特点。常见函数类型及其特点

02极限与连续

极限定义描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势，分为数列极限和函数极限。极限存在准则夹逼准则、单调有界准则等，用于判断极限是否存在。极限性质唯一性、有界性、保号性、四则运算法则等。极限概念及运算法则

123以零为极限的变量，具有阶的性质，如高阶、低阶、同阶等。无穷小量定义绝对值无限增大的变量，与无穷小量密切相关。无穷大量定义通过倒数关系相互转化，用于求解某些复杂极限问题。无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量

连续定义间断点类型连续性的性质连续函数的性质连续性与间断点函数在某一点处的极限值等于函数值，则称函数在该点连续。局部有界性、局部保号性、四则运算的连续性等。第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）和第二类间断点（无穷间断点、振荡间断点）。零点定理、介值定理、最值定理等，用于研究连续函数的性质和应用。

03导数与微分

03常见函数的导数掌握一些常见函数（如多项式函数、三角函数、指数函数等）的导数公式及推导过程。01导数的定义导数描述了函数在某一点处的切线斜率，反映了函数值随自变量变化的快慢程度。02导数的计算方法通过求极限的方式计算导数，包括使用导数的定义、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等。导数概念及计算方法

高阶导数与隐函数求导高阶导数的定义高阶导数是指对函数进行多次求导得到的导数，反映了函数更高层次的变化特征。高阶导数的计算通过连续应用求导法则，可以计算函数的高阶导数，注意求导过程中的细节处理。隐函数的求导对于无法显式表示的函数，可以通过隐函数求导的方法计算其导数，需要掌握隐函数求导的基本步骤和技巧。

微分的定义微分是函数在某一点处的局部线性逼近，即在该点处用切线近似代替曲线。微分的计算方法通过求导数得到微分，微分与导数之间存在密切的联系。微分的应用举例微分在几何、物理、经济等领域有着广泛的应用，如求解曲线的切线方程、计算物体的瞬时速度、分析经济现象的变化趋势等。微分概念及应用举例

04微分中值定理与导数应用

罗尔定理若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=0。柯西中值定理若函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g(x)≠0，则至少存在一点c∈(a,b)，使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)=f(c)/g(c)。拉格朗日中值定理若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。费马引理若函数f(x)在点x0处可导且取得极值，则