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概率论与数理统计连续型随机变量二汇报人：AA2024-01-20

CATALOGUE目录连续型随机变量基本概念一维连续型随机变量及其分布多维连续型随机变量及其分布连续型随机变量的数字特征连续型随机变量在统计推断中的应用实例分析与计算技巧

01连续型随机变量基本概念

可以在某个区间内取任意实数值的随机变量。取值充满整个区间，无法一一列出所有可能值。定义及性质连续型随机变量的性质连续型随机变量定义

123在某一区间内，随机变量取各值的概率相等。均匀分布描述某些随机事件发生的时间间隔，具有无记忆性。指数分布影响某一数量指标的随机因素很多，而每一个因素所起的作用不太大，则这个指标的取值近似服从正态分布。正态分布常见连续型随机变量

分布函数定义描述随机变量取值小于或等于某一数值的概率。分布函数与概率密度函数关系分布函数是概率密度函数的积分，概率密度函数是分布函数的导数。概率密度函数定义描述连续型随机变量的输出值在某个确定的取值点附近的可能性的函数。分布函数与概率密度函数

02一维连续型随机变量及其分布

定义均匀分布是指在一个区间内，每个值出现的概率都相等的分布。概率密度函数f(x)=1/(b-a)，axb，其中a和b是区间的端点。分布函数F(x)=(x-a)/(b-a)，a≤x≤b。期望和方差均匀分布的期望是(a+b)/2，方差是(b-a)2/12。均匀分布

指数分布是一种描述事件发生时间间隔的连续型概率分布，常用于可靠性工程和排队论等领域。定义概率密度函数分布函数期望和方差f(x)=λe^(-λx)，x0，其中λ是分布的一个参数，表示单位时间内事件发生的次数。F(x)=1-e^(-λx)，x≥0。指数分布的期望是1/λ，方差是1/λ2。指数分布义正态分布是一种在自然界和社会科学中广泛存在的连续型概率分布，具有钟形曲线的特点。概率密度函数f(x)=(1/√(2πσ2))e^(-(x-μ)2/(2σ2))，其中μ是均值，σ是标准差。分布函数F(x)=Φ((x-μ)/σ)，其中Φ是标准正态分布的分布函数。期望和方差正态分布的期望是μ，方差是σ2。此外，正态分布还具有一些重要的性质，如可加性、稳定性等。正态分布

03多维连续型随机变量及其分布

定义设$X$和$Y$是两个随机变量，如果对于任意实数$x,y$，存在一个非负可积函数$f(x,y)$，使得事件${(Xleqx)cap(Yleqy)}$的概率可以表示为$int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$，则称$(X,Y)$为二维连续型随机变量，函数$f(x,y)$称为$(X,Y)$的联合概率密度函数。性质联合概率密度函数$f(x,y)$具有非负性和规范性，即$f(x,y)geq0$且$int_{-infty}^{infty}int_{-infty}^{infty}f(u,v)dudv=1$。二维连续型随机变量

VS二维连续型随机变量$(X,Y)$的边缘概率密度函数分别为$f_X(x)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dy$和$f_Y(y)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dx$。它们分别描述了随机变量$X$和$Y$单独取值的概率分布情况。条件分布在给定$X=x$的条件下，随机变量$Y$的条件概率密度函数为$f_{Y|X}(y|x)=frac{f(x,y)}{f_X(x)}$（当$f_X(x)0$时）。类似地，在给定$Y=y$的条件下，随机变量$X$的条件概率密度函数为$f_{X|Y}(x|y)=frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$（当$f_Y(y)0$时）。条件分布描述了在一个随机变量取特定值的条件下，另一个随机变量的分布情况。边缘分布边缘分布与条件分布

如果二维连续型随机变量$(X,Y)$的联合概率密度函数可以表示为两个边缘概率密度函数的乘积，即$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，则称随机变量$X$和$Y$是相互独立的。这意味着一个随机变量的取值不会影响另一个随机变量的取值。独立性如果二维连续型随机变量$(X,Y)$不是相互独立的，则称它们是相关的。相关性可以通过相关系数来衡量，如皮尔逊相关系数等。相关系数描述了随机变量之间的线性相关程度，取值范围为$-1leqrholeq1$，其中$rho=1$表示完全正相关，$rho=-1$表示完全负相关，$rho=0$表示不相关。相关性独立性及相关性

04连续型随机变量的数字特征

数学期望（均值）描述随机变量取值的“平均水平”，是概率加权下的平均值。对于连续型随机变量X，其数学期望E(X)定义为∫xf(x)dx，其中f(x)为X的概率密度