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初中平面几何中的定值问题

平面几何中的定值问题

开场白：同学们，动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查同学们的综合分析和解决问题的能力。这类问题中就有一类是定值问题，下面我们来看几道题：

【问题1】已知一等腰直角三角形的两直角

边AB=AC=1，P是斜边BC上的一动点，过

P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则

PE+PF=。

方法1：特殊值法：把P点放在特殊的B点或C点或BC中点。此种方法只适合小题。

方法2：等量转化法：这是绝大部分同学能够想到的方法，PF=AE,PE=BE,所以PE+PF=BE+AE。

方法3：等面积法：连接AP，

总结语：这虽然是一道动态几何问题，难吗？不难，在解决过程中（方法2抓住了边长AB的不

（M为BC中点）（解题要点：等腰三角形中，底边上的中线是常作的辅助线，抓住这条线的长度是不变量这个特点，建立PE,PF与AM之间的联系，化动为静）

方法2：等面积法：

（M为BC中点）（板书）

（解题要点：抓住三角形面积是个不变量，用等面积法求解，这是在三角形中求解与垂线段有关的量的常用方法。）

(若学生想不到，可提示：在此题中，不变的东西是什么？不变的这个量和变量PE,PF之间有什么联系，能不能用一个等式来表示？

学生会三角形的边长，角度，周长，面积等都是不变量。

（设计意图：由特殊到一般，引出求垂线段长度的常用方法：等面积法）

（教师行为：出示题之后，让学生做，教师下去看。叫用方法1的同学先站起来回答，然后再叫用方法2的同学。以达到过渡到下一题的目的。）

问：我把题中的5改为a，6改为b，PE+PF还是定值吗？你能求出这个定值吗？

答：是定值，求解方法不变。

问：由这题，你能得出等腰三角形的一个一般性结论吗？

结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值PE+PF=(a为腰长,b为底边长,h为的边上的高)（等面积法可以求解，注意当顶角为钝角的情况）

（设计意图：培养学生探究的精神，养成勤总结的习惯）

问题：通过前面几题，你能说说在解答动态几何问题时解题的关键是什么？应该注意什么问题？

答：不要被动、变迷惑，通过观察，分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形之间的内在联系，找到不变量或不变关系，找到解题的途径。在解题过程中要注意点或线在运动的过程中，是否需要讨论。

过渡：上面两题中的动点都是在一定线段或直线上运动，有些同学可能还是觉得不够刺激，下面再来一道刺激一点的，让点在一个区域内运动，请看：

【变式2】已知P为边长为a的等边三角形ABC内任意一动点，P到三边的距离分别为h1,h2,h3,则P到三边的距离之和是否为定值？为什么？

（由上题的启示，学生可能很容易想到等面积法）

为定值（M为BC中点）（板书）

可以用几何画板度量长度，进行演示

（设计意图：使学生更深一步理解等面积法的应用）

过渡：研究完了P在三角形内部运动的情况，我们不防降低对P点的约束，让这个好动的点P动到三角形外部去，情况又会有何变化？

【变式3】已知P为边长为a的等边三角形ABC外任意一点，P到三边的距离分别为h1,h2,h3,则P到三边的距离之间有何关系？为什么？

图1图2图3

在几何画板中操作，发现当点P移出三角形时，h1＋h2＋h3发生改变，那么h1,h2,h3有没有什么一定的关系呢？

等面积法还可以用吗？△PAB，△PBC，△PAC的面积有何关系？这三个三角形的面积和不变的三角形ABC的面积有何关系？

（直需讲解一种情况，其它让学生自己去补充）

图1：

为定值（板书）

图2：

为定值（只把结论板书）

图3：

为定值（只把结论板书）

图1图2图3

图1：

为定值（板书）

图2：

为定值（只把结论板书）

图3：

为定值（只把结论板书）

（设计意图：渗透分类讨论思想在平面几何中的应用。）

（教师行为：在几何画板中作出个三角形，填充内部，让学生直观地发现几个三角形之间的面积关系。）

过渡：前面我们研究的都是以三角形为背景的动态几何定值问题，下面再看一道以圆为背景的定值问题。

【问题2】已知：已知弧AB为120度，在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A、B两点)，以M为圆心作圆M和AB相切，分别过A，B作⊙M的切线，两条切线相交于点C.

求证：∠ACB有定值，并求