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1工程数学-复变函数

复数与复变函数基础

解析函数与柯西定理

幂级数展开与泰勒级数

留数定理及其应用举例

保角映射与共形映射初步

总结回顾与拓展延伸

contents

目

录

01

复数与复变函数基础

复数定义

形如$z=a+bi$（$a,binmathbb{R}$）的数称为复数，其中$a$是实部，$b$是虚部，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。

复数相等

两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等。

复数运算

包括加法、减法、乘法和除法。复数的加法和减法可以分别通过对实部和虚部进行加减来实现。复数的乘法按照分配律进行，即$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$。复数的除法可以通过乘以分母的共轭复数来实现。

复平面

以实轴和虚轴为坐标轴的平面称为复平面。复平面上的点可以用复数表示，反之亦然。

极坐标

在复平面上，一个复数$z=a+bi$也可以表示为$z=r(costheta+isintheta)$，其中$r=sqrt{a^2+b^2}$是复数的模，$theta=arctan(frac{b}{a})$是复数的辐角。这种表示方法称为复数的极坐标表示。

指数函数：对于任意复数$z=x+yi$，定义$e^z=e^x(\cosy+i\siny)$。指数函数在复平面上是周期函数，周期为$2\pii$。

对数函数：对于任意非零复数$z=re^{i\theta}$，定义$\lnz=\lnr+i\theta$。对数函数是多值函数，其值取决于辐角$\theta$的选择。

幂函数：对于任意非零复数$z$和任意复数$\alpha$，定义$z^\alpha=e^{\alpha\lnz}$。幂函数也是多值函数。

三角函数：在复平面上，三角函数可以定义为$\sinz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$和$\cosz=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$。这些函数在复平面上是周期函数，周期为$2\pi$。

02

解析函数与柯西定理

柯西定理：如果函数$f(z)$在单连通闭区域$overline{D}$上解析，在$overline{D}$的边界上连续，则$f(z)$在D内的任意点处的值等于它在$overline{D}$的边界上的平均值。

若函数$f(z)$在区域D内解析，则$f(z)$也在D内解析。

若函数$f(z)$在区域D内解析，且$f(z)$在D内某点取到最大值或最小值，则$f(z)$为常数。

柯西定理的推论

解析函数在单连通区域内的性质

若函数$f(z)$在单连通区域D内解析，则对于D内的任意简单闭曲线C，有$oint_{C}f(z)dz=0$。

解析函数在多连通区域内的性质

若函数$f(z)$在多连通区域D内解析，则对于D内的任意闭曲线C，有$oint_{C}f(z)dz=2piisum_{k=1}^{n}{Res[f(z),a_k]}$，其中$a_k$为C内部的奇点。

例题1

证明函数$f(z)=z^2$在复平面内解析，并求其在原点处的导数。

例题2

利用柯西定理证明若函数$f(z)$在区域D内解析，且在D的边界上连续，则$f(z)$在D内的任意点处的值等于它在D的边界上的平均值。

例题3

求函数$f(z)=frac{1}{z}$在复平面内除原点外的任意点处的导数，并讨论其在原点处的性质。

03

幂级数展开与泰勒级数

泰勒级数是在实数范围内定义的，而洛朗级数是在复数范围内定义的。

两者之间的联系在于，当函数在某一点处可导时，其泰勒级数和洛朗级数在该点处相等。

两者的区别在于，泰勒级数只关注函数在某一点处的局部性质，而洛朗级数则关注函数在某一区域内的整体性质。

01

02

03

收敛半径

利用柯西-阿达玛不等式或者比值判别法等方法，可以求得幂级数的收敛半径。

收敛域

根据收敛半径和函数在边界点的性质，可以确定幂级数的收敛域。需要注意的是，当幂级数在边界点上收敛时，该点可能属于收敛域也可能不属于收敛域。

03

例题3

判断幂级数$sum_{n=0}^{infty}frac{z^n}{n!}$的收敛域，并求其在收敛域内的和函数。

01

例题1

求函数$f(z)=frac{1}{1-z}$在$z=0$处的泰勒级数展开式，并确定其收敛域。

02

例题2

求函数$f(z)=sinz$在$z=0$处的洛朗级数展开式，并确定其收敛域。

04

留数定理及其应用举例

对于函数$f(z)$在孤立奇点$z_0$处的洛朗展开式，其负一次幂的系数即为$f(z)$在$z_0$处的留数。

通过求导、积分、幂级数展开等