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大学数学(高数微积分)22Laplace变换性质课件(课堂讲解)
汇报人：AA
2024-01-26
AA
REPORTING
目录
Laplace变换基本概念与性质
逆Laplace变换求解方法
Laplace变换在电路分析中应用
Laplace变换在微分方程求解中应用
数值计算方法在Laplace变换中应用
总结回顾与拓展延伸
PART
01
Laplace变换基本概念与性质
REPORTING
AA
定义
设函数$f(t)$在$tgeq0$上有定义，且积分$int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$在复平面$s$的某一区域内收敛，则称此积分为函数$f(t)$的Laplace变换，记为$F(s)=L[f(t)]$。
存在性
函数$f(t)$的Laplace变换存在的充分必要条件是函数$f(t)$在$tgeq0$上分段连续，并且当$trightarrowinfty$时，$f(t)$的增长速度不超过某一指数函数。
指数函数
$L[e^{at}]=frac{1}{s-a}$
单位阶跃函数
$L[u(t)]=frac{1}{s}$
正弦函数
$L[sin(omegat)]=frac{omega}{s^2+omega^2}$
幂函数
$L[t^n]=frac{n!}{s^{n+1}}$
余弦函数
$L[cos(omegat)]=frac{s}{s^2+omega^2}$
若$a,b$为常数，$f_1(t),f_2(t)$的Laplace变换分别为$F_1(s),F_2(s)$，则$L[af_1(t)+bf_2(t)]=aF_1(s)+bF_2(s)$。
线性性质
若$f_1(t),f_2(t),cdots,f_n(t)$的Laplace变换分别为$F_1(s),F_2(s),cdots,F_n(s)$，则$sum_{i=1}^{n}f_i(t)$的Laplace变换为$sum_{i=1}^{n}F_i(s)$。
叠加原理
若$f(t)$的Laplace变换为$F(s)$，则$f(t-a)u(t-a)$的Laplace变换为$e^{-as}F(s)$。
时移性质
若$f(t)$的Laplace变换为$F(s)$，则$e^{at}f(t)$的Laplace变换为$F(s-a)$。
频移性质
PART
02
逆Laplace变换求解方法
REPORTING
AA
查表法
通过查阅Laplace变换表，找到与给定象函数对应的原函数。此方法适用于简单、常见的象函数。
部分分式法
将复杂象函数分解为简单部分分式之和，再分别查表或进行逆变换。此方法适用于具有有理分式形式的象函数。
在复变函数中，留数定理用于计算围线积分。在逆Laplace变换中，可以利用留数定理计算围线积分，从而得到原函数。
留数定理
确定围线、计算围线上的奇点、应用留数定理计算积分。
应用步骤
卷积定理
在Laplace变换中，卷积定理指出两个时域函数的卷积的象函数等于这两个函数象函数的乘积。此定理在求解具有卷积形式的微分方程时非常有用。
应用举例
求解具有卷积形式的微分方程、计算系统响应等。通过卷积定理，可以将复杂的卷积运算转换为简单的乘积运算，从而简化求解过程。
PART
03
Laplace变换在电路分析中应用
REPORTING
AA
线性时不变系统定义
满足叠加原理和时不变性的系统。
传递函数定义
系统输出与输入之间的Laplace变换之比，描述系统动态特性。
传递函数性质
稳定性、频率响应等。
03
02
01
电路元件两端电压与电流的Laplace变换之比。
阻抗函数定义
串并联化简、阻抗函数运算等。
复合电路阻抗函数求解方法
复杂电路分析方法
支路电流法、网孔电流法、节点电压法等。
简化方法
电源等效变换、星角变换、戴维南定理等。
Laplace变换在复杂电路分析中的应用
将时域电路转换为复频域电路，便于分析和计算。
PART
04
Laplace变换在微分方程求解中应用
REPORTING
AA
通过对像函数进行反Laplace变换，可以得到原函数的解析表达式。
利用反Laplace变换求得原函数
通过Laplace变换，将含有初始条件的微分方程转化为代数方程，从而方便求解。
利用Laplace变换将初始值问题转化为代数方程
对转化后的代数方程进行求解，得到原函数在Laplace变换下的像函数。
求解代数方程得到像函数
利用Laplace变换将边值问题转化为代数方程
对于具有边值条件的微分方程，可以通过Laplace变换将其转化为代数方程进行求解。
求解代数方程得到像函数
对转化后的代数方程进行求解，得到原函数在Laplace变换下的像函数。
利用反Laplace变换求得原函数
通过对像函数进行反Laplace变换，可以得到原函数的
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