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概率论与数理统计---样本及抽样分布抽样分布汇报人：AA2024-01-20

CATALOGUE目录样本及抽样分布基本概念常用统计量及其性质抽样分布定理与性质参数估计方法及评价标准假设检验原理及步骤方差分析与回归分析应用举例

01样本及抽样分布基本概念

研究对象的全体个体所构成的集合，通常用一个随机变量X表示。总体样本样本容量从总体中随机抽取的一部分个体所构成的集合，通常用一个随机向量X1,X2,...,Xn表示。样本中所包含的个体数目，用n表示。总体与样本定义单随机抽样从总体中逐个不放回地随机抽取n个个体作为样本。系统抽样将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分中抽取一个个体作为样本。分层抽样将总体分成不同的层或组，然后从每一层或组中随机抽取若干个体作为样本。整群抽样将总体分成若干个群或组，然后随机抽取若干个群或组，将抽中的群或组中的所有个体作为样本。抽样方法与抽样分布

统计量由样本观测值计算得到的用于描述样本特征的量，如样本均值、样本方差等。抽样分布统计量在多次重复抽样下的分布规律。常见的抽样分布有t分布、F分布、卡方分布等。统计量与抽样分布的关系统计量是样本的函数，而抽样分布则是描述统计量在多次重复抽样下取值概率的分布。因此，统计量的性质与抽样分布密切相关。例如，当总体服从正态分布时，样本均值服从正态分布，而样本方差则服从卡方分布。统计量与抽样分布关系

02常用统计量及其性质

描述数据集中趋势的统计量，是所有数据之和除以数据个数。对于样本数据，均值用样本均值表示；对于总体数据，均值用总体均值表示。均值描述数据离散程度的统计量，是每个数据与均值之差的平方的平均值。方差越大，说明数据的离散程度越高；方差越小，说明数据的离散程度越低。方差方差的算术平方根，也是描述数据离散程度的统计量。标准差用s表示。标准差均值、方差和标准差

描述数据分布形态的统计量，反映了数据分布的尖锐程度。峰度大于3的分布比正态分布更尖，峰度小于3的分布比正态分布更扁平。峰度描述数据分布形态的统计量，反映了数据分布的不对称性。偏度大于0的分布右偏，偏度小于0的分布左偏。偏度将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数。中位数不受极端值的影响，因此比均值更稳健。中位数峰度、偏度和中位数

矩描述数据分布形态的统计量，包括原点矩和中心矩。原点矩是数据与某个固定点（如原点）的距离的k次方之和，中心矩是数据与均值的距离的k次方之和。描述两个变量共同变化程度的统计量。如果两个变量的变化趋势一致，则协方差为正；如果两个变量的变化趋势相反，则协方差为负；如果两个变量独立，则协方差为零。衡量两个变量之间线性相关程度的统计量。相关系数的取值范围为[-1,1]，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，0表示不相关。协方差相关系数矩、协方差和相关系数

03抽样分布定理与性质

大数定律与中心极限定理大数定律揭示了当试验次数足够多时，频率稳定于概率的现象。它是概率论中的基本定理，为统计学中的抽样推断提供了理论基础。中心极限定理指出当样本量足够大时，不论总体分布如何，样本均值的分布都近似于正态分布。这一定理在统计学中具有重要地位，为许多统计推断方法提供了依据。

卡方分布当总体服从正态分布时，样本方差服从卡方分布。卡方分布在假设检验和置信区间的构建中具有重要意义。t分布当总体服从正态分布且样本量较小时，样本均值与样本方差之比服从t分布。t分布在t检验和回归分析中广泛应用。F分布两个独立的卡方分布变量之比服从F分布。F分布在方差分析和回归分析中用于检验两个或多个总体方差是否相等。正态总体下常用统计量分布

当总体不服从正态分布时，如果样本量足够大，根据中心极限定理，样本均值的分布仍然近似于正态分布。这使得在许多实际情况下，即使总体分布未知或不符合正态分布假设，我们仍然可以使用基于正态分布的统计方法进行推断和分析。此外，一些非参数统计方法（如秩和检验、符号检验等）可以在不假设总体分布的情况下进行统计推断，这些方法对于非正态总体的数据分析尤为有用。非正态总体下近似正态分布

04参数估计方法及评价标准

点估计与区间估计方法通过样本数据直接计算出一个具体的数值作为参数的估计值，如样本均值、样本方差等。点估计在点估计的基础上，构造一个包含参数真值的置信区间，以区间形式表达参数的不确定性。区间估计

有效性指在满足无偏性的条件下，估计量的方差尽可能小，即估计量更加集中于参数真值附近。一致性指随着样本量的增加，估计量的值逐渐趋近于参数真值，即大样本下估计量的准确性能够得到保证。无偏性指估计量的期望值等于参数真值，即估计量在多次重复抽样下的平均值能够准确反映参数的真实值。无偏性、有效性和一致性评价标准

极大似然估计法是一种基于概率模型的参数估计方法。它假设已知样本数据服从