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第40届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题

（2023.10试用版）

一、（40分）雨过天晴，空气内悬浮着大量

小水滴，若阳光从背后以低角度照射，观察

者便可能观察到彩虹（图1a）。有时会同时

出现两条彩虹，内层彩虹称为主虹（1级

虹），它来自阳光进入水滴后的一次反射；

在主虹外边较暗的虹称为副虹或霓（2级

虹），它来自阳光在水滴内的两次反射。光

图1a大自然中的彩虹

线在水滴内还可能发生三次及以上的反

射，并产生相应级次的虹。在自然界中通常只能观察到1级和2级虹，更高级次的虹可以在

实验室环境下呈现。

图1b一根光线经过水滴的折射、反射和出射图1c平行光照射到水滴后的1级光

2

考虑一个球形水滴，直径为10μm量级。如图1b，一根入射光线与球心确定一个平面，

该平面与球形水滴表面相交形成一个圆（大圆），进入水滴的光线经折射、反射后的出射光

k0,1,2,

都在此平面内。把光线在水滴内经过k（）次反射后的出射光称为k级光，出

射光相对入射光方向偏转的角度称为偏向角（见图1b）。

（1）已知入射光线在水滴外表面上的入射角为i，空气和水的折射率分别为1和n。试求k



级光的偏向角的表达式。

k

（2）当一束单色平行光照射水滴时，不同入射位置对应不同入射角（见图1c）。当入射角

i

i变化时，级光的偏向角有一极小值，试求及其对应的入射角的表达式。

k

kkmkmk

（3）由于色散，不同波长的光在水中的折射率n不同。对于确定的入射角i，试求级光偏

k

dd

kik

向角对折射率n的变化率与入射角i的关系式，并求当i取第（2）问中的时

kk

dndn

iik

的表达式。



（4）图1c是单色平行光照射到水滴后出射的1级光示意图，在1级光偏向角极小值附

1m