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傅里叶、小波变换

目录

傅里叶变换基本原理

小波变换基本原理

傅里叶与小波变换比较

傅里叶、小波变换在信号处理中应用

傅里叶、小波变换在图像处理中应用

总结与展望

01

傅里叶变换基本原理

Chapter

利用三角函数系的正交性，可以将周期信号分解为一系列正弦波和余弦波的叠加。

三角函数正交性

傅里叶系数

收敛性

通过计算信号与三角函数系的内积，可以得到各次谐波的振幅和相位，即傅里叶系数。

在满足一定条件下，傅里叶级数展开能够收敛于原信号，实现信号的频谱分析。

03

02

01

傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频域信号的线性变换，通过计算信号与复指数函数的内积实现。

变换定义

傅里叶变换将信号表示为一系列不同频率的复指数函数的叠加，反映信号的频谱特性。

频域表示

傅里叶变换具有线性、时移性、频移性、共轭对称性、微分性等基本性质。

性质

03

性质

离散傅里叶变换具有周期性、共轭对称性、线性等基本性质。

01

定义

离散傅里叶变换是针对离散时间信号的频谱分析方法，将有限长序列信号转换为频域上的离散序列。

02

计算方法

通过直接计算离散时间信号与复指数函数的内积，可以得到信号的频谱。

02

小波变换基本原理

Chapter

一种具有震荡性、能够迅速衰减到零的数学函数，用于分析信号中的局部特性。

小波函数

用于描述信号在不同尺度下的逼近程度，通常与小波函数一起构成小波基。

尺度函数

正交性、紧支撑性、消失矩等，决定了小波变换的性能。

小波基的性质

定义

将信号与小波基函数进行内积运算，得到信号在不同尺度和位置上的小波系数。

特性

能够同时提供信号的时域和频域信息，具有良好的时频局部化特性。

应用

信号分析、图像处理、语音识别等领域。

03

02

01

对连续小波变换进行离散化处理，将尺度和平移参数离散化，得到离散小波系数。

定义

降低了计算复杂度，同时保留了信号的重要特征。

特性

数据压缩、去噪、特征提取等。

应用

将信号分解成不同分辨率下的逼近分量和细节分量，实现对信号的分层描述。

多分辨率分析

一种快速实现多分辨率分析的方法，通过迭代方式对信号进行分解和重构。

Mallat算法

图像压缩、信号处理、模式识别等领域。

应用

03

傅里叶与小波变换比较

Chapter

具有良好的频率分辨率，但在时间域上无局部化能力，即无法同时获取信号的时域和频域信息。

具有时频局部化能力，可以在不同尺度下分析信号，既能获取频率信息，又能定位到时间域上的具体位置。

傅里叶变换

小波变换

算法相对简单，计算效率高，适用于平稳信号的分析。

算法较复杂，计算量相对较大，但适用于非平稳信号的分析，能够提取更多的特征信息。

小波变换

傅里叶变换

傅里叶变换

广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域，尤其适用于周期性信号的分析。

小波变换

适用于瞬态、非平稳信号的分析，如故障诊断、语音识别、地震信号处理等领域。同时，小波变换还具有多分辨率分析的特点，可用于图像压缩、数据降维等应用。

04

傅里叶、小波变换在信号处理中应用

Chapter

通过傅里叶变换将信号从时域转换到频域，设计合适的滤波器对特定频率成分进行增强或抑制，再通过傅里叶逆变换恢复时域信号，实现滤波处理。

傅里叶变换在滤波中的应用

小波变换具有良好的时频局部化特性，能够将信号分解到不同尺度上，通过对小波系数的阈值处理，可以有效去除噪声成分，同时保留信号的细节信息。

小波变换在去噪中的应用

傅里叶变换在特征提取中的应用

通过对信号进行傅里叶变换，可以得到信号在频域上的特征表示，如功率谱、频谱等，这些特征可以用于信号的分类、识别等任务。

小波变换在模式识别中的应用

小波变换能够提供信号的多尺度、多分辨率分析，可以提取出信号在不同尺度上的特征信息，这些特征对于模式识别任务具有重要的价值。

05

傅里叶、小波变换在图像处理中应用

Chapter

傅里叶变换在图像压缩中的应用

通过傅里叶变换将图像从空间域转换到频率域，实现对图像数据的压缩，同时保留图像的主要特征。

小波变换在图像编码中的应用

小波变换具有多分辨率分析的特点，能够在不同尺度上提取图像的特征，从而实现高效的图像编码。

基于傅里叶和小波变换的混合压缩编码

结合傅里叶变换和小波变换的优点，实现对图像的高效压缩和编码，提高图像存储和传输的效率。

小波变换在图像复原中的应用

小波变换能够在不同尺度上分离图像的结构和纹理信息，实现对图像的复原，如去除模糊、修复损坏等。

基于傅里叶和小波变换的混合增强复原

结合傅里叶变换和小波变换的特点，实现对图像的全面增强和复原，提高图像的质量和清晰度。

傅里叶变换在图像增强中的应用

通过傅里叶变换对图像的频率成分进行分析和处理，实现对图像的增强，如去噪、锐化等。

结合傅里叶变换和小波变换的优点，实现对目标的全面检测