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傅立叶变换6162傅氏积分与傅氏变换

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2023WORKSUMMARY

目录

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傅立叶变换基本概念

傅氏积分与傅氏变换关系

离散时间信号傅立叶变换

连续时间信号傅立叶变换

傅立叶变换在通信系统中应用

总结与展望

PART

01

傅立叶变换基本概念

傅立叶变换是一种将时间域函数转换为频域函数的数学工具，其基本思想是将一个复杂的周期函数分解成一系列简单的正弦和余弦函数的和。

对于非周期函数，可以通过将其看作是周期无穷大的周期函数，进而进行傅立叶变换。

傅立叶变换包括连续时间傅立叶变换（CTFT）和离散时间傅立叶变换（DTFT），分别对应于连续信号和离散信号的变换。

傅立叶变换是线性的，即两个函数的线性组合的傅立叶变换等于各自傅立叶变换的线性组合。

线性性质

时移性质

频移性质

共轭性质

函数在时域中的平移对应于其频域中的相移。

函数在频域中的平移对应于其时域中的相移。

函数与其共轭函数的傅立叶变换之间存在特定的关系。

通过傅立叶变换，可以将信号从时间域转换到频域进行分析，从而了解信号的频率成分及其幅度和相位信息。

频域分析

在通信、音频处理、图像处理等领域中，傅立叶变换被广泛应用于信号滤波、调制与解调、频谱分析等任务。

信号处理

通过对系统输入和输出的傅立叶变换进行分析，可以了解系统的频率响应特性，进而评估系统的性能。

系统分析

傅立叶变换作为一种数学工具，在偏微分方程求解、函数逼近等领域中也有重要应用。

数学工具

PART

02

傅氏积分与傅氏变换关系

傅氏变换是傅氏积分的推广

当函数f(t)不满足傅氏积分的条件时，可以通过引入广义函数或分布的概念，将其进行傅氏变换。

傅氏变换与傅氏积分的关系

对于满足一定条件的函数f(t)，其傅氏变换F(ω)与傅氏积分F(ω)相等，即F(ω)=∫f(t)e−iωtdt。这表明，在信号处理中，可以通过计算函数的傅氏变换来得到其频谱信息。

信号压缩与重构

利用傅氏变换或傅氏积分的性质，可以对信号进行压缩处理，减少数据存储量。同时，也可以通过逆变换将压缩后的信号进行重构，恢复原始信号。

频谱分析

通过计算信号的傅氏变换或傅氏积分，可以得到信号的频谱信息，进而分析信号的频率成分和幅度分布。

信号滤波

利用傅氏变换或傅氏积分的性质，可以设计不同类型的滤波器，对信号进行滤波处理，提取感兴趣的频率成分或抑制干扰成分。

信号调制与解调

在通信系统中，常常需要对信号进行调制和解调处理。通过傅氏变换或傅氏积分，可以将信号从时域转换到频域进行处理，实现信号的调制和解调。

PART

03

离散时间信号傅立叶变换

通过时间轴上的序列值来表示离散时间信号，即信号的幅度随时间变化的情况。

通过傅立叶变换将时域信号转换为频域信号，以频率作为自变量，描述信号在不同频率分量上的幅度和相位信息。

频域表示法

时域表示法

频谱概念

频谱是描述信号在频域上的分布情况的图形表示，横轴表示频率，纵轴表示幅度或功率。

频谱分析方法

通过对离散时间信号进行傅立叶变换，得到信号的频谱，进而可以对信号进行频率分析、滤波、调制等处理。

滤波处理

利用离散时间信号的频谱特性，设计数字滤波器对信号进行滤波处理，提取感兴趣频率分量或抑制干扰频率分量。

调制与解调

通过离散时间信号的频谱搬移实现信号的调制与解调，用于通信系统中的信号传输和接收。

信号压缩与重构

利用离散时间信号在频域上的稀疏性，对信号进行压缩编码和重构，实现信号的存储和传输效率的提高。

PART

04

连续时间信号傅立叶变换

1

2

3

通过时间函数描述信号，如正弦波、余弦波等。

时域表示法

通过频率函数描述信号，如振幅谱、相位谱等。

频域表示法

使用复指数函数表示信号，便于进行数学分析和处理。

复指数表示法

频谱概念

将信号分解为不同频率分量的过程，各分量幅度和相位随频率变化。

傅立叶级数

周期信号可展开为无穷级数，各项为不同频率正弦或余弦函数。

傅立叶变换

非周期信号可通过傅立叶变换转换为频域表示，得到频谱分布。

03

信号合成与分析

利用傅立叶变换对信号进行合成和分析，提取特征参数或识别信号类型。

01

滤波

通过设计滤波器，选择性地保留或滤除某些频率分量，实现信号净化。

02

调制与解调

在通信系统中，将低频信号调制到高频载波上传输，接收端再解调还原原始信号。

PART

05

傅立叶变换在通信系统中应用

调制原理

将基带信号转换为适合在信道中传输的已调信号，通过改变载波的振幅、频率或相位来实现。

多载波调制技术

如正交频分复用（OFDM）等，通过傅立叶变换实现多载波信号的调制与解调。

信道均衡

在通信系统中，信道特性往往会引起信号失真，利用傅立叶变换可以实现信道均衡，提高通信质量。

信号分析与处理

利用傅立叶变换对信号进行频谱分析，提取信号