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13.3.2多项式

目录contents多项式基本概念多项式运算多项式因式分解多项式函数及其图像多项式在解决实际问题中应用举例复杂多项式处理技巧及策略

301多项式基本概念

定义与性质定义多项式是由常数、变量以及有限次的加、减、乘运算得到的代数表达式。性质多项式具有加法、减法、乘法的封闭性，即两个多项式进行加、减、乘运算后仍为多项式。

多项式中，变量指数的最大值称为多项式的次数。次数多项式中，与变量相乘的常数称为系数。系数多项式的次数和系数都是针对某个特定变量的，因此需指明是哪个变量的次数和系数。注意事项次数与系数

定义只含有一个变量的多项式称为一元多项式。标准形式一元多项式可表示为$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ldots+a_1x+a_0$，其中$a_nneq0$，$n$为非负整数。根的概念对于一元多项式$P(x)$，若存在数$c$使得$P(c)=0$，则称$c$是多项式$P(x)$的根。一元多项式

302多项式运算

同类项合并只有同类项（即次数相同的项）才可以进行加减运算，合并时系数相加减，字母部分不变。运算顺序进行多项式的加减运算时，通常按照次数从高到低（或从低到高）的顺序排列各项，以方便合并同类项。加法与减法

多项式乘法遵循分配律，即每一项都需要与另一个多项式的每一项相乘。乘法分配律多项式除法通常是通过长除法或综合除法进行的，商和余数都是多项式。除法运算乘法与除法

带余除法定理01对于任意两个多项式f(x)和g(x)（g(x)≠0），总存在唯一的多项式q(x)和r(x)，使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)，其中r(x)的次数小于g(x)的次数。求余式02在带余除法中，可以通过多项式除法求得余式r(x)。应用03带余除法在多项式的因式分解、求多项式的根等方面有重要应用。带余除法

303多项式因式分解

确定公因式观察多项式的各项，找出所有项的公共因子，包括系数、字母及其指数。提取公因式将多项式各项的公因式提取出来，得到一个新的多项式和公因式的乘积。简化多项式对新得到的多项式进行进一步的因式分解，直到无法再提取公因式为止。提取公因式法030201

03其他公式根据多项式的特点，还可以运用其他公式进行因式分解，如立方和公式、立方差公式等。01平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，适用于两项都是平方数的多项式。02完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$和$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，适用于三项中两项是平方数且它们之间是加减关系的多项式。公式法

分组将多项式的项按照某种规则分成若干组，使得每组内的项具有相同的特征或关系。分解对每一组进行因式分解，得到各组的公因式或公式。整合将各组的公因式或公式整合起来，得到原多项式的完整因式分解结果。分组分解法

304多项式函数及其图像

VS多项式函数的定义域为全体实数集R，即任何实数都可以作为多项式函数的自变量。值域多项式函数的值域取决于多项式的次数和系数。对于一次多项式，值域为全体实数集R；对于二次及以上的多项式，值域为[f(x)min,+∞)或(-∞,f(x)max]，其中f(x)min和f(x)max分别为多项式函数的最小值和最大值。定义域多项式函数定义域与值域

通过选取自变量x的一些特定值，计算出对应的函数值y，然后在坐标系中描出这些点，最后用平滑的曲线连接这些点即可得到多项式函数的图像。通过观察多项式函数的表达式，分析其增减性、对称性、极值点等性质，然后结合这些性质绘制出函数的图像。函数图像绘制方法代数法列表描点法

图像特征与性质分析增减性多项式函数的增减性取决于其导数的正负。当导数大于0时，函数单调增加；当导数小于0时，函数单调减少。对称性多项式函数可能具有轴对称性或中心对称性。对于偶次多项式，其图像关于y轴对称；对于奇次多项式，其图像关于原点对称。极值点多项式函数的极值点可以通过求导并令导数为0得到。极值点处的函数值可能是最大值、最小值或拐点。渐近线对于高次多项式函数，当x趋向无穷大或无穷小时，函数的图像会趋近于一条直线，这条直线称为渐近线。

305多项式在解决实际问题中应用举例

123多项式$ltimesw$可表示一个矩形的面积，其中$l$是长度，$w$是宽度。矩形面积多项式$frac{1}{2}(a+b)h$可表示一个梯形的面积，其中$a$和$b$是梯形的两个平行边的长度，$h$是高。梯形面积多项式$pir^2$可表示一个圆的面积，其中$r$是圆的半径。圆的面积面积问题

圆柱体体积多项式$pir^2h$可表示一个圆柱体的体积，其中$r$是底面圆的半径，$h$是高。球体体积多项式$frac{4}{3}